Релаксационные методы

Пусть задана система ЛАУ общего вида (первого рода): Ax=b; x,b Rⁿ, . (1) Требуется привести данную систему к виду x=Tx+d (2) с матрицей (оператором) Т, удовлетворяющей условию в какой либо матричной норме. Рассмотрим простейший прием такого преобразования. x=x-H(Ax-b), (3)

где Н- некоторая невырожденная матрица. Из (3) следует, что x=Tx+d, где (4) T=E-HA, d=Hb.

Итерационная процедура, основанная на представлении (3) x^k=x^k-1-H(Ax^k-1-b) (5) называется линейной стационарной итерационной процедурой; при этом матрица Т в представлении (4) называется матрицей перехода, а матрица Н – матрицей расщепления.

В данном классе методов приведение системы (1) к виду (4) осуществляется с помощью расщепления матрицы А, т.е. ее представления в виде: A=D-C_L-C_U,(9) где

D= - диагональная матрица, C_L= - строго нижняя (левая) треугольная матрица, C_U= - строго верхняя (правая) треугольная матрица. Подставляя представление (9) в систему (1) Ax=b Dx=(C_L+C_U)x+b x=D^-1(C_L+C_U)x+ D^-1b x=Tx+d, где T= D^-1(C_L+C_U)= D^-1(D-A)=E- D^-1A, d= D^-1b, H= D^-1 - матрица расщепления. Получаемый при этом итерационный метод называется методом Якоби. Необходимое условие сходимости: (иначе не существует D^-1). Достаточные условия сходимости в соответствии с теоремой 1: . Или более простое условие: пусть матрица А - вещественная, причем (такая матрица А называется матрицей со строгим диагональным преобладанием).

Метод Якоби может быть оптимизирован следующим образом. Снова воспользуемся разложением (9) и запишем систему в виде: x=D^-1C_Lx+ D^-1C_Ux+d. (10) Нетрудно убедиться, что при покомпонентной записи (10) , где

вектор g^Lx содержит только первые (i-1) компонент вектора х, а вектор g^Ux - содержит компоненты, начиная с (x_i+1) . (11) Процедура (11) носит название итерационный метод Гаусса-Зейделя Условия сходимости - те же, что и для метода Якоби, но при этом получается дополнительное ускорение процедуры. Более эффективное ускорение сходимости метода Зейделя может быть достигнуто с помощью ускоряющего множителя (как в обобщенном методе Ричардсона). Получающийся при этом алгоритм носит название “ метод последовательной верхней релаксации” и реализуется в два этапа:

(12) где - релаксационный параметр. Если , то при итерационная процедура сходится.

Теорема 1. Пусть система (4) имеет единственное решение стационарная процедура

(6) сходится к решению системы (4) при тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы Т по модулю меньше 1.

33-34Численное дифференцирование.

Существует два подхода к выводу формул численного дифференцирования.

1. Интерполяционный подход. Полагаем , где - интерполяционный многочлен Лагранжа, , причем остаточный член формулы дифференцирования выражается через

Недостаток: при стремлении получить достаточно высокую точность приходится использовать большое количество узлов, в которых вычисляется значение функции. Если функция задана таблично, то такой подход приемлем.

2. Конечно-разностная аппроксимация, основанная на Тейлоровском разложении. Рассмотрим этот подход более подробно. Пусть задана сетка , где h - шаг сетки

Теорема 1. Имеют место следующие утверждения: Пусть

. (1) . (2)

. (3)

(4)

Для определенности докажем (4): используем тейлоровское разложение в точках x₁ и x_-1

.

Складывая эти две формулы, получим .

В силу непрерывности четвертой производной

.