Некоторые определения

1. Итерационная процедура, основанная на представлении (3) x^k=x^k-1-H(Ax^k-1-b) (5) называется линейной стационарной итерационной процедурой; при этом матрица Т в представлении (4) называется матрицей перехода, а матрица Н – матрицей расщепления.

2. Более общая линейная нестационарная итерационная процедура записывается в виде:

x^k= x^k-1-H_k(A x^k-1-b), где H_k – матрица расщепления k-го шага. Соответственно матрица перехода T_k=E-H_kA – называется матрицей перехода k-го шага. Ниже будут более подробно рассмотрены стационарные итерационные процедуры. Связь условия сходимости линейного стационарного процесса со свойствами спектра матрицы Т устанавливает следующая теорема.

Теорема 1. Пусть система (4) имеет единственное решение стационарная процедура

(6) сходится к решению системы (4) при тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы Т по модулю меньше 1.

Достаточность. Заметим, что условие теоремы равносильно условию . Пусть x* - точное (и единственное) решение системы (4). Запишем следующую систему:

Вычитая из первого уравнения второе, получаем: x^k- x* = T(x^k-1- x*).

Обозначим - ошибка k- ого шага. Тогда

(7)

является итерационной процедурой для операторного уравнения r=Tr, достаточным условием сходимости которой, согласно принципу сжатых отображений, является условие .Заметим, что матрица Т- вещественная. Рассмотрим в качестве нормы матрицы Т- спектральную норму: по условию теоремы Þ и достаточность доказана.

Необходимость. От противного. Пусть одно из собственных значений матрицы Т, например, и пусть y - соответствующий собственный вектор: . Выберем начальное приближение в виде , где С - некоторая константа.Запустим итерационную процедуру:

не может быть нарушено условие .

28.

Рассмотрим простейший прием такого преобразования. x=x-H(Ax-b), (3) где Н- некоторая невырожденная матрица. Из (3) следует, что x=Tx+d, где (4) T=E-HA, d=Hb. Итерационная процедура, основанная на представлении (3) x^k=x^k-1-H(Ax^k-1-b) (5) называется линейной стационарной итерационной процедурой; при этом матрица Т в представлении (4) называется матрицей перехода, а матрица Н – матрицей расщепления.

Рассмотрим некоторые частные случаи стационарных процедур, зависящих от выбора матрицы Н. Пусть матрица перехода в этом случае имеет вид: T=E-A. Получаем так называемый метод простых итераций, или метод Ричардсона. Выясним условия сходимости метода Ричардсона. Пусть собственное значение матрицы Т, собственное значение матрицы А. является корнем характеристического уравнения , корнем уравнения или: , откуда следует, что . Согласно теореме 1, условие сходимости: Последнее условие, например, выполняется, если

и .

Теорема 1. Пусть система (4) имеет единственное решение стационарная процедура

сходится к решению системы

x=Tx+d, где T=E-HA, d=Hb. при тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы Т по модулю меньше 1.

29.

Рассмотрим простейший прием такого преобразования. x=x-H(Ax-b), (3) где Н- некоторая невырожденная матрица. Из (3) следует, что x=Tx+d, где (4) T=E-HA, d=Hb. Итерационная процедура, основанная на представлении (3) x^k=x^k-1-H(Ax^k-1-b) (5) называется линейной стационарной итерационной процедурой; при этом матрица Т в представлении (4) называется матрицей перехода, а матрица Н – матрицей расщепления.

Пусть , где некоторый параметр сходимости, с помощью которого можно оптимизировать процедуру Ричардсона. Матрица перехода в этом случае имеет вид: .

Теорема 2. Пусть и , является оптимальным значением параметра сходимости обобщенной итерационной процедуры Ричардсона: .

Т.к. , то все собственное значения матрицы А m, M>0 и .Выберем в качестве матричной нормы - спектральную норму . По определению, , поэтому, чем меньше спектральный радиус, тем быстрее сходится итерационная процедура в соответствии с принципом сжатых отображений. Пусть собственное значение матрицы корень уравнения

, l - корень уравнения:

Из сравнения двух характеристических уравнений Таким образом, имеем .

Так как функция кусочно линейна по l, то достигается на концах отрезка

Найдем такое , для которого . (8)

Легко проверить, что при выполняются следующее условие: - обозначим.Покажем, что полученное значение как раз и является оптимальным в смысле критерия (8).

Пусть, например, .

Из последних равенств видно, что при любом знаке один из модулей будет , т.е. , что и требовалось доказать.

30-32