Замечание. Формулы (1), (2), (3) и (4) называются формулами численного дифференцирования

Формулы (1), (2), (3) и (4) называются формулами численного дифференцирования. При этом формула (1) - определяет правую разностную производную и имеет порядок точности , формула (2) – определяет левую разностную производную и имеет порядок точности , формула (3) - определяет центральную разностную производную первого порядка и имеет порядок точности , формула (4) - определяет центральную разностную производную вто рого порядка и имеет порядок точности .

35-36.Численные методы решения задачи Коши.

Задача для ОДУ первого порядка для функции одной переменной ставится следующим образом

(5) Более общая постановка задачи Коши для дифференциального уравнения n -го порядка

(6)

Здесь - заданные числа (начальные условия). Задача (6) с помощью замены переменных

, . сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка:

(7)

Систему (7) можно переписать в векторном виде: , где (8) , , . Система (8) исследуется и решается аналогично одномерной задаче Коши (5), поэтому важно изучить, прежде всего, численные методы решения задачи (5). В курсе математического анализа формулируется и доказывается теорема существования и единственности решения задачи Коши. Отметим, что для выполнения теоремы необходимо и достаточно, чтобы функция имела непрерывные частные производные в замкнутой ограниченной области на плоскости . Будем искать решение задачи (5) в прямоугольниках Введем сетку на оси , Простейший итерационный процесс решения (5) на сетке получается, если аппроксимировать производную на сетке правой конечной разностью. Обозначая приближенное решение на сетке , получим или

(9)

Итерационная процедура (9) называется “метод Эйлера” (или “метод ломаных”). Дадим графическую иллюстрацию метода.

Начав движение из точки на точном решении , итерационное решение образует ломаную линию, каждый отрезок которой представляет собой касательную к кривой , проходящую через данную точку. Например, - уравнение касательной к u (x) в точке . где u₁(x₁)-та интегральная кривая, которая проходит через точку (x₁,y₁). Из рисунка видно, что ошибка растет с номером k. Выясним, каков порядок этой ошибки в сеточной норме

Оценка погрешности метода Эйлера. Будем считать, что ошибка округления имеет порядок не меньший, чем . Тогда из (9) следует: (10)Разложим точное решение задачи (5) в точке с такой же точностью: (11)Вычтем(11) из (10) Þ

(12)

где В силу условий теоремы существования и единственности частные производные ограничены в прямоугольнике : Обозначим и оценим (12) по модулю (13) по условию. Обозначим (14)

Теорема 2. Для метода Эйлера имеет место следующая оценка погрешности:

(15)

Из (13) следует (рекурсия назад)

Используя алгебраическое тождество получаем

(16)

(В последнем неравенстве использовано свойство второго замечательного предела) Учитывая, что

получим , т.е. оценку (15).

Замечание. Из соотношения (16) следует, что 1. Ошибка растет с номером шага k. 2. Порядок ошибки в методе Эйлера .

37-39.Методы Рунге-Кутта.

Методы Рунге-Кутта - это группа итерационных методов решения задачи Коши (4), характеризуемая следующими условиями: 1)Это одношаговые методы, т.е. при переходе из точки в точку используется лишь информация о предыдущей точке . Этому условию соответствует такая общая запись итерационной процедуры , (17) где выражается через значения функции в точке или близким к ней (сдвинутым на долю шага). 2. Процедура (16) согласуется с рядом Тейлора вплоть до членов порядка , где p -порядок метода. 3. Метод не использует производных от , а требует только вычисления функции в различных точках сетки, причем число вычислений функции - минимально возможное для данного порядка. Заметим, что метод Эйлера является частным случаем метода Рунге-Кутта, имеющий наименьший первый порядок точности. Рассмотрим один из примеров повышения порядка точности метода Рунге-Кутта (16) до второго порядка. Представим в виде следующей линейной комбинации . Разложим функцию в точке в ряд Тейлора до членов первого порядка включительно

. Подставляя эти формулы в (16), получим:

. (18) (все входящие в правую часть функции берутся в точке ) Аналогичное разложение по Тейлору напишем для функции , используя уравнение . (19) Требуя совпадения коэффициентов разложений (18) и (19) при одинаковых степенях h, получим систему уравнений для неизвестных коэффициентов :

(20)

Система (20) недоопределена. Поэтому один из коэффициентов можно задать произвольно. Например, положим . Решая (20), получим

. Итерационная процедура (17) приобретает вид

. (21)

Учитывая результат теоремы 2, заключаем, что точность этого метода , т.е. данный метод - второго порядка.

Рассмотрим некоторые частные случаи процедуры (21).

Отбрасывая погрешность, получаем

. (22)

Полученный метод Рунге-Кутта носит название “предиктор-корректор”. Чтобы прояснить смысл этого названия разобьем процедуру (22) на два этапа:

На первом этапе “предсказываем” значение по методу Эйлера. На втором этапе это значение корректируется путем усреднения угловых коэффициентов в точках и . За счет коррекции, точность данного метода и повышается на порядок по сравнению с методом Эйлера.

Согласно (21), получаем

. (23)

Обозначим

.

Тогда (23) разбивается на два этапа:

На первом этапе находим - прогнозируемое значение на половинном шаге от точки по методу Эйлера.

Вычисляем наклон интегральной кривой в точке , и на втором этапе, двигаясь по касательной с данным угловым коэффициентом из точки () в точку (), получаем окончательно Полученный метод носит название “модифицированный метод Эйлера”.