Теорема о единственности предела сходящейся числовой последовательности

Определение: Последовательность может иметь только один предел.

Доказательство: Предположим противное, т.е. пусть последовательность { x_n } такая, что

lim _n→∞xn=a и lim _n→∞xn=b и a <> b.

Тогда поскольку число a – предел последовательности, то должно выполняться неравенство:

| x_n - a | < ε и | x_n - b | < ε

Очевидно, что между двумя неравными числами (a <> b) находится бесконечно много других чисел. Поэтому всегда можно выбрать такое число ε > 0, что ε-окрестность точки a не будет пересекаться с ε-окрестностью точки b.

(a – ε, a + ε) (b – ε, b + ε ) = (пустое_множество)

Поскольку число a является пределом последовательности { x_n }, то начиная с некоторого номера n > N все члены этой последовательности попадут в ε-окрестность точки a, а вне этой окрестности может оказаться только конечное число членов: x₁, x₂…x_n. Но тогда в ε-окрестность точки b может попасть только что-то из чисел x₁, x₂…x_n и не больше, а это противоречит тому, что число b предел { x_n } (Если b – предел, то в ε-окрестность точки b должно попадать не меньше, чем в ε-окрестность точки a). Следовательно, предположение о том, что a <> b не верно. Из этого следует, что a = b, а значит, предел единственен. Что и требовалось доказать.

Ограниченные и неограниченные числовые последовательности. Привести примеры.

Доказать необходимое условие сходимости числовой последовательности.