Сходящиеся последовательности и их свойства

Рассмотрим числовые последовательности.

Последовательность (x_n) действительных чисел называется сходящейся, если существует действительное число a и для произвольного ε > 0 существует натуральное число m такое, что для всех n > m справедливо неравенство | x_n - a | < ε.

При этом число a называют пределом последовательности (x_n), что символически записывают

или x_n → a при n → ∞.

Числовая последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела — расходящейся.

Например, последовательности

(см. примеры 1 и 2, § 131) являются сходящимися, а последовательности

— 1, 1, —1, 1, —1, 1,...,

1, 2, 3, 4,...

— расходящимися.