Определение непрерывности по Гейне

Говорят, что функция действительного переменного f (x) является непрерывной в точке
( - множество действительных чисел), если для любой последовательности , такой, что

выполняется соотношение

На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = a:

1. Функция f (x) определена в точке x = a;
2. Предел существует;
3. Выполняется равенство .

Определение непрерывности по Коши (нотация )

Рассмотрим функцию f (x), которая отображает множество действительных чисел на другое подмножество B действительных чисел. Говорят, что функция f (x) является непрерывной в точке , если для любого числа существует число , такое, что для всех , удовлетворяющих соотношению

выполняется неравенство