Вторым замечательным пределом называется предел

Число , заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов.

Теорема 2.15 Второй замечательный предел существует. Его значение -- число, лежащее между и .

Более подробное изучение числа показывает, что -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:

Для доказательства теоремы 2.15 нам понадобится следующая лемма; формула, в ней полученная, называется формулой бинома Ньютона.

Лемма 2.2 Пусть и -- натуральное число. Тогда имеет место формула

Заметим, что в дроби

очевидно, сокращаются все сомножители в числителе и знаменателе, так что эта дробь равна 1. Аналогично, в предыдущем (не выписанном) слагаемом после сокращения получается коэффициент, равный , в третьем справа слагаемом -- равный , и т. д. Таким образом, коэффициенты в слагаемых, стоящих на одинаковых местах, считая слева и справа от края формулы, совпадают.

Доказательство. Доказывать утверждение леммы будем по индукции по параметру . При формула 2.2, очевидно, верна:

(Заметим, что при и формула 2.2 также хорошо известна:

и

Предположим, что она верна для , и докажем, что тогда она верна и при . Действительно,

При этом в квадратных скобках получается:

и так далее, то есть как раз то, что должно получиться в качестве коэффициентов формулы бинома Ньютона при .

Доказательство теоремы 2.15. Рассмотрим последовательность и применим к формулу бинома Ньютона при и . Получим

Покажем, что последовательность ограничена сверху. Для этого заменим все дроби , ,..., на 1. Все эти дроби меньше 1, так что сумма в правой части формулы (Доказательство теоремы 2.15) увеличится:

Далее, заменим все числа в знаменателях этих слагаемых на 2; от этого правая часть ещё увеличится. Получим:

В правой части получилась сумма членов геометрической прогрессии. Она равна

Поэтому

что и означает ограниченность последовательности сверху числом 3.

Покажем теперь, что последовательность не убывает. Действительно, запишем формулу (Доказательство теоремы 2.15) в виде

В аналогичной формуле, написанной для вместо , во-первых, увеличится каждое из выражений в круглых скобках (так как вычитаемое уменьшится) и, значит, увеличатся все слагаемые, содержащие такие скобки. Во-вторых, число слагаемых увеличится на одно: добавится положительное слагаемое

Следовательно, при росте номера члены последовательности строго возрастают: при всех .

Применим теперь к возрастающей ограниченной сверху последовательности теорему о пределе монотонной ограниченной функции (теорема 2.13) и получим, что существует предел

причём число не больше постоянной 3, ограничивающей последовательность. Осталось заметить, что . Так как все последующие члены ещё больше, то и предел , на основании теоремы о переходе к пределу в неравенстве (следствие 2.7), не меньше числа , что и завершает доказательство теоремы.

Замечание 2.7 Можно также показать, что

(2.5)

однако строгое доказательство достаточно тяжело, и мы его здесь пропускаем.

В формуле (2.5) можно сделать замену , при этом база перейдёт в базу , и мы получим

Упражнение 2.6 Покажите, что имеют место также равенства

и

На этой основе, применяя теоремы о связи двусторонних пределов с односторонними, покажите, что

и

Формулы в этих замечании и упражнении представляют собою другую форму записи второго замечательного предела. Мы сохраним название второй замечательный предел за всеми этими формулами.

Пример 2.22 Найдём предел .

Здесь параметр -- фиксированное число. При вычислении предела он будет рассматриваться как постоянная. Сделаем замену , тогда и . Поэтому

(Здесь мы воспользовались, пока на интуитивном уровне, тем, что степенная функция непрерывна, то есть что . Более подробно понятие непрерывности функций мы будем изучать ниже, в разделе Использование непрерывности функций при вычислении пределов.) Полученная формула даёт нам возможность выразить экспоненциальную функцию как некоторый предел.

С помощью похожей замены вычисляются пределы функций вида в случае, когда основание степени при некоторой базе стремится к 1, а показатель степени -- к бесконечности (то есть является бесконечно большой функцией при данной базе; о бесконечно больших см. ниже, в разделе Бесконечно большие величины и бесконечные пределы). Такие выражения, а также и связанные с ними пределы, называются неопределённостями вида . О неопределённостях других видов пойдёт речь ниже, после примера 2.29.

Обратим внимание читателя, что -- это лишь условная запись: 1 здесь указывает, что основание степени стремится к 1 (и вовсе не обязательно равно 1); в "показателе степени" стоит вообще не число, а символ бесконечности. Поэтому было бы грубой ошибкой, встретив такую условную запись (или написав её), сделать вывод о том, что единица, мол, в любой степени даёт единицу, и поэтому ответ равен единице. С условными символами в этой записи нельзя действовать так же, как с числами. Предыдущий пример, в котором основание степени стремится к 1, а показатель степени к , даёт как раз неопределённость вида . Однако значение предела равно , а этот результат может быть любым положительным числом, в зависимости от того, какое значение взято.

Вот ещё один пример на раскрытие неопределённости вида .

Пример 2.23 Найдём предел .

Здесь основание степени имеет предел

а показатель степени . Поэтому можно применять тот же приём сведения ко второму замечательному пределу, что в предыдущем примере. Для начала найдём, что следует взять за бесконечно малую величину . Поскольку основание степени стремится к 1, то оно равно , где (см. теорему 2.4). Значит,

Теперь преобразуем функцию, стоящую под знаком предела:

Выражение, стоящее в квадратных скобках, имеет вид и при стремится к числу (это второй замечательный предел), а предел показателя степени мы найдём отдельно:

Поэтому

(Мы воспользовались тем, что если и , то . Это следует из непрерывности показательной и логарифмической функций, если учесть, что .)

Замечание 2.8 Не любые пределы величин вида вычисляются с помощью сведения ко второму замечательному пределу. Ещё раз напомним, что так надо поступать лишь в случае, когда основание степени при данной базе стремится к 1, а показатель степени -- к бесконечности. В иных ситуациях можно бывает для вычисления предела обойтись более простыми рассуждениями. Например, при нахождении предела

можно заметить, что основание степени стремится к , так что получается формально . Это выражение не является неопределённостью (в отличие от выражения ), так как основание степени при достаточно больших близко к (и заведомо меньше, скажем, ) и при возведении в неограниченно увеличивающуюся степень будет меньше и, следовательно, будет стремиться к 0. Так что

и прибегать к помощи второго замечательного предела не пришлось.