Пример 1. Используя определение непрерывности по Коши, доказать, что

Используя определение непрерывности по Коши, доказать, что .

Решение.

Пусть . Мы должны найти некоторое число , такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству

будет выполнено соотношение

Последнее неравенство можно записать в виде

Следовательно,

Заметим, что наша функция принимает лишь неотрицательные значения. Поэтому в заданной точке для ε -окрестности должно выполняться условие ε ≤ 2. В этом случае левая часть ε ² − 4 ε неравенства будет отрицательной. Отсюда следует соотношение

Таким образом, если мы выберем δ ≤ 4 ε − ε ², то для всех x, удовлетворяющих неравенству , получим . Например, если ε = 0.1, то величина δ должна удовлетворять условию δ ≤ 4 ε − ε ² = 0.4 − 0.01 = 0.39. По определению Коши это означает, что