Свойства БМФ

Свойство 1. Произведение бесконечно малой функции при и функции , ограниченной в некоторой -окрестности точки a, есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Функция является ограниченной в некоторой окрестности точки a и, следовательно, существует такое число B > 0, что

для всех x, удовлетворяющих условию

Поскольку функция является бесконечно малой при , то для любого произвольно малого числа ε > 0 существует такое число , что неравенство

выполняется для всех x, удовлетворяющих условию

Выберем из чисел и наименьшее и обозначим его символом δ. Тогда условие

является более сильным, чем условия (5) и (7) и поэтому влечет неравенства (4) и (6).

Таким образом, для любого произвольно малого числа ε > 0 выполняется неравенство

для всех x из δ-окрестности точки a.

Свойство 2. Сумма двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Пусть ε > 0 – произвольно малое число; и – бесконечно малые функции при . Тогда существуют такие положительные числа и , что условия

и

влекут за собой соответствующие неравенства

и

Если , то условие перекрывает оба условия (9) и (10) и, следовательно,

Следствие. Сумма любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Действительно, объединяя элементы такой суммы в группы по два слагаемых и заменяя сумму двух бесконечно малых одной бесконечно малой, получим сумму меньшего числа членов. В конечном итоге сумма любого конечного числа бесконечно малых будет сведена к одной бесконечно малой.