Уравнение плоскости в пространстве

Определение. Линейным уравнением относительно переменных x, y, z называется уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0, где хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля.

Теорема. Всякая плоскость в пространстве определяется линейным уравнением

и обратно, всякое линейное уравнение (3) определяет плоскость в пространстве.

Действительно, пусть в пространстве R³ задана плоскость (Р) (рис. 1).

Выбираем на ней какую-либо точку M₀(x_{0, y}0, z₀), и в некоторой точке плоскости (P) построим ненулевой вектор , перпендикулярный плоскости (P). Для того, чтобы произвольная точка M(x, y, z) пространства принадлежала плоскости (P), необходимо и достаточно, чтобы , то есть

Уравнение (4) называется векторным уравнением плоскости.

Т.к. и , то скалярное произведение в (4) можем заменить через координаты сомножителей, а именно:

Уравнение (5) перепишем в виде:

Где D = -Ax0 - By0 - Cz0, то есть получим уравнение (3). Это показывает, что любая плоскость может быть описана уравнением (3).

Уравнение (3) называют общим уравнением плоскости, а уравнение (5) - уравнением плоскости, проходящей через заданную точку M0(x0, y0, z0). <p< p="">class="maintext">Отметим, что вектор называют нормальным вектором плоскости и в качестве нормального вектора плоскости может быть взят любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости.</p<>

Легко доказывается и обратное: дано уравнение Ax + By + Cz + D = 0 и нужно убедиться, что оно описывает плоскость в пространстве R³.

Пусть (x0, y0, z0) - какое-либо решение данного уравнения. Тогда Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0. Отсюда получаем D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀ и, подставляя в исходное уравнение, получаем:
Ax + By + Cz -Ax₀ - By₀ - Cz₀ = 0, или
A(x - x₀) + B(y- y₀) + C(z - z₀) = 0. а это есть уравнение плоскости, проходящей через точку (x₀, y₀, z₀) и имеющую нормальный вектор .

Следовательно, и равносильное ему уравнение Ax + By + Cz + D = 0 определяет плоскость. Теорема доказана.

Рассмотрим важный частный случай построения уравнения плоскости, когда известны три точки M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃), принадлежащие плоскости и не лежащие на одной прямой. Возьмем текущую точку M(x, y, z) плоскости и организуем три вектора

Эти векторы лежат в одной плоскости, уравнение которой и определяется. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю, то есть

Уравнение (6) и есть уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M₁, M₂, M₃.

При решении задач часто используется так называемое уравнение плоскости в отрезках на осях. Пусть в общем уравнении плоскости (3) A ≠ 0, B≠ 0, C≠ 0, D≠ 0. Перенесем свободный член D в правую часть и разделим обе части уравнения на - D, тогда получим:

где,

Уравнение (7) и называют уравнением плоскости в отрезках на осях, т.к. числа a, b, c имеют простой геометрический смысл: а - абсцисса точки пересечения плоскости с осью Ох, b - ордината точки пересечения плоскости с осью Оу, с - аппликата точки пересечения плоскости с осью Oz. Действительно, точка пересечения плоскости с осью, скажем, Ох имеет ординату у = 0 и аппликату z = 0. Но координаты этой точки (х,0,0) должны удовлетворять уравнению плоскости, т.е.

Отсюда получаем,

Полезно самостоятельно провести исследования общего уравнения плоскости (3), т.е. установить специфику пространственного расположения плоскости в случаях:

Решим теперь задачу о вычислении угла между двумя плоскостями. Угол между двумя плоскостями, точнее, один из двух смежных углов между двумя плоскостями, может быть вычислен как угол между нормальными векторами этих плоскостей. Если плоскости заданы своими общими уравнениями

то их нормальные векторы имеют вид и потому угол Θ между плоскостями находим по формуле

Условием параллельности двух плоскостей является условие

- явл условием перпендикулярности двух плоскостей является условие

23) Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве
Пусть плоскости и заданы общими уравнениями:
, ,
– нормальные векторы этих плоскостей соответственно.
Плоскости и параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. Записывая условие коллинеарности векторов (2.6), получаем: если то плоскости параллельны; если то плоскости совпадают.
Если же координаты векторов не пропорциональны, то плоскости пересекаются по некоторой прямой l. Очевидно, что
.
Отсюда получаем условие перпендикулярности плоскостей
.
Как и для двух прямых на плоскости можно вывести следующую формулу:
,
где – один из смежных двугранных углов между плоскостями. Расстояние d от точки М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) до плоскости вычисляется по формуле:

Пример 3.5. Составить уравнение плоскости , проходящей через точку
M ₁(–1, 2, 5) параллельно плоскости : .
Решение. Нормальный вектор ={2, –3, 0} плоскости является также нормальным вектором плоскости . Используя равенство (3.11) получаем:

– уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, найдем – общее уравнение плоскости.

24) Уравнения прямой в пространстве
Прямую линию в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Рассмотрим систему двух уравнений:

. (3.14)

Каждое из уравнений определяет в пространстве плоскость. Если коэффициенты при переменных x, у, z не пропорциональны, то эти плоскости пересекаются по некоторой прямой l. Координаты любой точки удовлетворяют системе (З.14) тогда и только тогда, когда точка лежит на прямой l. Поэтому уравнения (3.14) являются уравнениями прямой l и называются общими уравнениями прямой.
Итак, прямая в пространстве задается двумя линейными уравнениями.
Выведем другие виды уравнений прямой в пространстве.
Пусть задана точка М ₁(х ₁, у ₁, z ₁), лежащая на прямой l и ее направляющий вектор . Пусть M (x, y, z) произвольная точка прямой l, тогда векторы и коллинеарны и по формуле (2.6) получаем:
(3.15)
– канонические уравнения прямой l (уравнения прямой по точке и направляющему вектору). Из канонических уравнений, введя параметр t (коэффициент пропорциональности), который может принимать любые действительные значения:

получаем параметрические уравнения прямой l:

При изменении параметра t координаты точки М (х, у, z) изменяются и она перемещается по прямой l.
Заметим, что для прямой на плоскости можно вывести аналогичные параметрические уравнения:

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки (уравнения прямой по двум точкам) М ₁(х ₁, у ₁, z ₁) и М ₂(х ₂, у ₂, z ₂), предлагается вывести самостоятельно, они имеет вид:

Рассмотрим переход от общих уравнений прямой к параметрическим.
Пусть прямая l задана уравнениями (3.14), т.е. является линией пересечения плоскостей и , которые имеют нормальные векторы:
= { A ₁, B ₁, C ₁} и = { A ₂, B ₂, C ₂}
(рис. 3.14). Запишем канонические уравнения прямой l. Для этого из системы (3.14) найдем одно решение (х ₁, у ₁, z ₁) – координаты точки М ₁(х ₁, у ₁, z ₁), лежащей на l (система (3.14) имеет бесконечное множество решений). Поскольку
,
поэтому вектор параллелен прямой l, следовательно, – направляющий вектор l. Координаты вектора найдем по формуле (2.10), вычислив векторное произведение:

Подставив найденные числа в уравнения (3.15), получим канонические уравнения прямой l.
Пример 3.6. Прямая l является пересечением плоскостей:
: 2 х – у + z – 4 = 0 и : х + у – 2 z – 1 = 0.
Найти канонические уравнения прямой l.
Решение. 1) Решим систему уравнений:

получим тройку чисел (–1, 2, 0) – точку пересечения прямой l с координатой плоскостью 0 ху.
2) Найдем направляющий вектор прямой l:

Подставляя полученные данные в уравнения (3.15), находим:

канонические уравнения прямой l.