Парабола. Параболой ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки F, называемой фокусом параболы

Параболой (рис.1) называется геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки F, называемой фокусом параболы, и данной прямой, не проходящей через эту точку и называемой директрисой параболы.

Уравнение параболы (рис.1):

y ² = 2 p x.

Здесь ось ОХ является осью симметрии параболы.

Пусть Р (х ₁, у ₁) – точка параболы, тогда уравнение касательной к параболе в данной точке имеет вид:

у ₁ y = p (x + х ₁).

Условие касания прямой y = m x + k и параболы y ² = 2 p x:

2 m k = p.

31) Цилиндрические поверхности

Определение. Цилиндрической поверхностью называется поверхность (рис. 18), образованная прямыми (образующими), параллельными некоторой данной прямой L и пересекающими данную линию С (направляющую).

Допустим, что направляющая С задана уравнениями

а образующая L задана уравнениями

где X, Y, Z - текущие координаты точек, принадлежащих образующим, т.е. цилиндрической поверхности;

x, y, z - координаты точек, принадлежащих направляющей С.

Если из уравнений (53) и (54) исключим x, y, z, то получим уравнение относительно переменных X, Y, Z, т.е. уравнение цилиндрической поверхности.

Заметим, что всякое уравнение вида

не содержащее координаты z, определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz.

На координатной плоскости Oxy уравнение (55) определяет плоскую линию, которую обычно называют направляющей рассматриваемой цилиндрической поверхности. В пространстве эта линия определяется двумя уравнениями F(x, y) = 0 и z = 0.

Рассмотрим уравнения известных кривых второго порядка:

и примем их за уравнения направляющих цилиндрических поверхностей.

Тогда в пространстве эти уравнения будут представлять следующие цилиндрические поверхности:

уравнение (56) - прямой круговой цилиндр (рис. 19),

уравнение (57) - эллиптический цилиндр (рис. 20),

уравнение (58) - гиперболический цилиндр (рис. 21),

уравнение (59) - параболический цилиндр (рис. 22).