 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
|
|
- Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые.
- Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются.
- В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).
Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
На рис. 26 прямая a лежит в плоскости 
, а прямая с пересекает в точке N. Прямые a и с — скрещивающиеся.
Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой.
На рис. 26 прямые a и b скрещиваются. Черен прямую а проведена плоскость || b (в плоскости 
указана прямая a1 || b).
Примеры скрещивающихся прямых: трамвайный рельс и троллейбусный провод по пересекающейся улице, нeпересекающиеся и непараллельные ребра пирамид или призм и пр. Все три случая можно видеть еще на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок или стены и пол комнаты.
26) Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.
рис.6. 
рис.7. 
рис.8. 
Теорема. Пусть плоскость 
задана общим уравнением
,
а прямая L задана каноническими уравнениями
или параметрическими уравнениями
, 
,
в которых 
– координаты нормального вектора плоскости , 
–координаты произвольной фиксированной точки прямой L, 
–
координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:
1) если 
, то прямая L пересекает плоскость в точке,координаты которой 
можно найти из системы уравнений
; (7)
2) если 
и 
, то прямая лежит на плоскости;
3) если и 
, то прямая параллельна плоскости.
Доказательство. Условие 
говорит о том, что вектроры 
и 
не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальныеуравнения системы, находим координаты искомой точки.
Если 
, то это означает, что 
. А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости икоординаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка 
– лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.
Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.
Теорема доказана.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 509 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
