Свойства смешанного произведения. 1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х b)•с=(b х с)•а=(с х а)•b.

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков вкторного и скалярного умножения, т. е. (ахb)•с=а*(bx с).

Действительно, (ахb)•с=±V и а•(b хс)=(b хс)•а=±V. Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а, b, с и b, с, а — одной ориентации.

Следовательно, (a хb)•с=a (b хс). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х b)с в виде abc без знаков векторного, скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb, abc =-bac, abc =-cba.

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4.Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю огда и только тогда, когда они компланарны.

Если abc =0, то а, b и с— компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V¹ 0. Но так как abc =±V, то получили бы, что abc¹0. Это противоречит условию: abc =0.

Обратно, пусть векторы а, b, с — компланарны. Тогда вектор d =ахb будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а, b,с, и следовательно, d ^с. Поэтому d •с=0, т. е. abc =0.