![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Особая точка – точка, в которой функция теряет аналитичность.
Различают ос. т.: однозначного характера (в её окрестности ф-я однолистна), многозначного (!неоднолистна) и неоднозначного (!точка ветвления).
Особенность наз. изолированной, если есть окрестность в которой эта точка единственна.
Пусть - особая точка. Если:
- устранимая особенность
- полюс
не существует –
- существенно особая точка
Теорема ( Римана об устранимой особенности ): В устранимой особ. Точке функцию всегда можно доопределить до аналитической.
Теорема (Сохоцкого): - существенно особая точка, тогда
= А
Кратность полюса – это кратность нуля обратной функции.
Если - существенно особая точка,
тогда:
- если ряд Лорана не содержит отриц. степеней - - устранимая особенность;
- если содержит n отриц. степеней - - n-кратный полюс;
- если содержит бесконечно много отриц степ. - -существенн* ая особенность.
Пусть - особая точка функции f(z). Тогда
- вычет функции относительно её особой точки.
Нахождение в общем виде:
- коэф. при -1-й степени в ряде Лорана.
Методы вычисления интегральных вычетов:
1. - устранимая особенность:
.
2. - простой полюс:
3. - n-кратный полюс:
Продифферегцируем n раз:
4.
- простой полюс
5. - существенно особая точка:
Теорема (Коши о вычетах)№1:
Пусть f(z) – аналитична в , кроме конечного числа особых точек
.
Тогда:
. z1
zn
Док-во: вырежем особенности так, чтобы их окрестности не пересекались, то что осталось - , где
- окрестность n-й точки. f(z) – аналитична в D1 вплоть до замыкания.
По интегральной теореме Коши:
Теорема доказана.
Рассмотрим точку
. Если заключить её в окружность так чтобы все особые точки попали внутрь, а она была снаружи, то
- вычет на бесконечности. Других методов вычисления вычета на бесконечности нет!!!
Теорема (Коши о вычетах)№2:
Пусть f(z) – аналитична в С, кроме конечного числа особых точек .
Тогда: .
Теория вычетов применяется к
1)вычислению вещественных интегралов по замкнутому контуру: , где
2)вычислению несобственных интегралов вида (непосредствеено применяется Теорема1 Коши о вычетах):
Также применяется к суммированию рядов и в гидродинамике.
23. Кратные интегралы (двойные, тройные): определение, основные свойства. Применение.
Пусть в n-мерном пространстве Rn задана ограниченная область Ω с кусочно-гладкой границей Г (Ω`=Ω+Г) и на Ω (или Ω`) задана функция f(x)=f(x1, …, xn).
называется мерой множества Ω, а само множество Ω называется измеримым.
Разрежем Ω` на части Ωj, пересекающиеся разве что по своим границам, которые будем считать кусочно-гладкими. Для краткости будем говорить, что мы произвели разбиение ρ множества Ω (способ разбиения не имеет значения).
Введем понятие диаметра множества Ω – это есть точная верхняя грань .
Выберем в каждой части Ωj по произвольной точке ξj=(ξj1. …, ξjn) (ξj Ωj) и составим сумму
,
которую будем называть интегральной суммой Римана функции f, отвечающей разбиению ρ.
Предел суммы
,
когда максимальный диаметр частичных множеств Ωj стремится к нулю, называется кратным интегралом от функции f на Ω (или по Ω`).
Рассмотрим трехмерное пространство R3, в котором определена прямоугольная система координат (x, y, z). В нем задана непрерывная поверхность z=f(x, y), (x, y) Ω, где Ω – ограниченное двумерное множество, для которого возможно определить понятие его площади (двумерной меры). В качестве Ω может быть взят круг, прямоугольник, эллипс и т. д. Ставится задача: определить объем тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x, y), снизу плоскостью z=0 и с боков цилиндрической поверхностью, проходящей через границу Г плоского множества Ω, с образующей, параллельной оси z. Решая задачу о нахождении объема, проводим рассуждения, аналогичные приведенным выше для n-мерного случая. Приходим в результате к определенному двойному интегралу (Римана)
.
Пусть теперь в трехмерном пространстве R3, где определена прямоугольная система координат (x, y, z), задано тело Ω (множество) с неравномерно распределенной в нем массой и плотностью распределения m(x, y, z) тела Ω. Решая эту задачу, приходим к определенному тройному интегралу (Римана)
.
Свойства кратного интеграла:
1. Линейность:
2. Аддитивность: если и
Ø, то
3. Интегрирование неравенств: если f(x)≥g(x), то
4. Теорема о среднем: Пусть функции f(x) и g(x) ограничены и интегрируемы на множестве Ω, g(x) не меняет знака на Ω. Тогда существует такое число :
.
24. Криволінійні та поверхневі інтервали: означення, основні властивості, застосування
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 766 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!