Интеграл Римана

Пусть есть непрерывная в обл.D и - спрямляемый контур.

Разобъем дугу на n частей:

Тогда - интегральная сумма, ,

Вычисляется:

1)

2)

Свойства:

1.Линейность

2.Аддитивность

3.Ориентируемость

4.Оценка

где: f(z) – непрерівна на (компакте), значит достигает на нем наибольшего по модулю значения.

ds – дифференциал дуги

Интеграл по замкнутому контуру:

Лемма1

- аналитична в треугольнике

тогда

Лемма2

- аналитична в n-угольнике

тогда

Лемма 3 P D

- непрерывна в области D; - спрямляемый контур.

Тогда - вписанная в контур ломанная, такая что

Теорема (интегральная теорема Коши).

- аналитична в . Тогда

Предложение1:

Пусть f(z) – аналитична в . Тогда

Предложение 2:

Предложение 3:

Пусть f(z) – аналитична в .

|f(z)| . Тогда

Теорема (интегральная формула Коши): Пусть f(z) – аналитична в .Тогда : .

Следствия:

1. Теорема Лиувилля:

Пусть f(z) – аналитична в С и |f(z)| (ф-я ограничена всюду)

Тогда f(z) – константа.

2. Основная теорема высшей алгебры:

Пусть многочлен

Тогда

3. Теорема о среднем:

Пусть f(z) – аналитична в .

Тогда