Кинетическая энергия. Работа силы

Кинетическая энергия

Рассмотрим динамические характеристики: количество движения и кинетический момент не могут описать движение системы, происходящее за счет внутренних сил.

Пример:

Для данной системы, пусть мы растянем пружину, а затем отпустим грузы то в каждый момент времени мы будем иметь равные по величине и противоположные по направлению скорости грузов.

Þ количество движения и кинетический момент относительно " центра в каждый момент времени равны нулю.

Т.о. эти две величины никак не характеризуют такого вида движение. Þ в механике вводится понятие (характеристика движения) кинетическая энергия.

Кинетической энергией материальной точки – называется скалярная величина , где - масса материальной точки, - её скорость.

Кинетическая энергия системы точек = ∑ кинетических энергий точек, образующих систему:

Получим формулы Кинетической энергии для наиболее часто встречающихся типов движения:

1. Поступательное движение

При этом движении скорости всех точек тела одинаковы Þ

1. Вращательное движение

При этом движении скорость i -той точки: , где - угловая скорость, - расстояние от оси вращения до i -той точки.

, где - момент инерции.

1. Плоско-паралельное движение

, где - расстояние от точки до центра мгновенных скоростей.

Þ ,

где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через мгновенный центр скоростей перпендикулярно плоскости движения.

Данной формулой удобно пользоваться, если центр мгновенных скоростей неподвижен, что в задачах встречается редко.

Получим другую формулу. Для ее вывода выведем через момент инерции центральной оси , которая параллельна оси zp и проходит через центр масс.

,

где - масса тела;

- момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через центр масс тела;

- расстояние между осями.

Рассмотрим, чему равна Кинетическая энергия:

Кинетическая энергия тела при этом плоском движении = ∑ Кинетической энергии центра масс, в котором условно сосредоточена масса всего тела, и Кинетической энергии тела при его вращении вокруг центральной оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения.

Работа силы

Для описания результатов действия силы вводится понятие Работы силы:

1. Элементарная работа
2. Полная работа

Элементарная работа

Пусть материальная точка массой m под действием силы совершила элементарное перемещение

Þ элементарной работой силы на перемещение будет:

Данную формулу можно записать иначе, если учесть, что

Þ А может быть <0, >0, =0.

А=0 если в данный момент времени сила F =0 или когда точка m неподвижна. Элементарная работа =0 если сила приложена к точке мгновенного центра скоростей.

Если обозначить через , , проекции силы на оси координат, то Элементарную работу можно записать так:

Если на точку действуют силы F ₁, …, F _n, которые имеют равнодействующую:

, то Элементарная работа = алгебраической сумме работ отдельных сил:

Полная работа (работа на конечном перемещении)

Пусть точка m под действием силы перемещается из точки А в точку В по кривой l.

Разобьем кривую l на бесконечное число элементарных отрезков и определим на " из них Элементарную работу. Алгебраическая сумма всех этих Элементарных работ и будет Полной работой силы F на конечном перемещении А, В:

Запишем данное выражение:

Получим выражения для работ наиболее часто встречающихся сил:

1. Силы тяжести:

Пусть материальная точка массы m под действием силы переместилась из точки M ₀ в точку M ₁. Найдем проекции силы на оси.

, , .

Элементарная работа:

Полная работа: Þ , где h – высота на которую точка переместилась.

2. Работа сил Ньютоновского тяготения

Пусть на материальную точку действует сила Ньютоновского тяготения, которая притягивает ее к неподвижному центру О:

Элементарная работа:

Полная работа:

Работа будет положительной, если , т.е. когда точка движется к центру.

3. Работа сил упругости

Груз лежит на горизонтальной плоскости и прикреплен пружиной жесткости С.

Работа будет положительной, если тело М приближается к недеформированному состоянию пружины.

4. Работа силы, приложенной к твердому вращающемуся телу.

Пусть в точке М приложена сила F пусть точка М вращается с угловой скоростью вокруг оси Oz.

Элементарная работа:

, где - элементарный угол поворота, - проекция момента силы F относительно точки О на ось z.

Т.о. Элементарная работа силы, приложенной к твердому вращающемуся телу равна произведению момента этой силы относительно оси вращения на элементарный угол поворота тела.

Интегрирую последнее равенство, получим:

, где = const.

Работа будет положительной, если направление момента и угла поворота совпадают.

5. Работа внутренних сил

Пусть между точками A и B механической системы действует внутренняя сила взаимодействия.

Из последнего равенства следует, что если в процессе движения системы расстояние между точками A и B не меняется, то сумма работ внутренних сил =0.

Для " упругого тела .

Если система состоит из отдельных твердых тел связанных между собой с помощью внутренних связей, то при вычислении работ внутренних сил достаточно учесть работу реакций связей соединенных твердых тел.

Связи, сумма работ реакций которых =0, называются Идеальными.