Элементарные функции комплексной переменной и их свойства

1 .Линейная: f(z) = az+b, a,b є C, a≠0.

D = вся плоскость E = вся плоскость. Однолистная, аналитическая на всей плоскости

функция конформна на всей пл-ти

1)f(z) = z+b –параллельный перенос 2)f(z) = rz – гомотетия (растяжение/сжатие) с коэф. r>0

rz

z.

3)f(z) = z, - поворот

z

z

2. - дробно-линейная функция – является композицией сдвига, поворота, гомотетии и 2-х симметрий. - инверсия – композиция 2-х симметрий:1) относительно единичной окружности(А и В симметричны отн. окр-ти если, ОА*ОВ = );2) относительно вещественной оси.

z

1/z D = C /{0} E = C /{0} Z=0 w = , z = w = 0 – функция определена в расширенной комплексной плоскости .

Свойства др.-лин. ф-и:

· сохранение ангармонического отношения

· однозначно определяется значениями в 3-х точках:

· окружность отображается в окружность

· симметричные относительно окруж-ти точки отображаются в симметричные относительно её образа точки

3 .Степенная:

D = C

E = C

Поверхность Римана

Аналитична на всей плоскости, в начале координат конформности нет, однозначнасти нет (двулистная)

4. Экспонента:

D = C E = C/{0}

Анлитична на всей пл-ти, , бесконечнозначная.

Периодическая: ; ;

Область однолистности экспоненты: полоса: по Y: (0, 2 i), X:() переходит в плоскость с разрезом вдоль положительного направления оси Х от нуля.

5. Тригонометрические и гиперболические функции.

, Т = 2π, ф-и не ограничены по модулю

Область однолистности: для sin x: полоса – по Y(), X() переходит в плоскость с разрезами вдоль оси Х от 1 до , от -1 до . Для cos x: полоса Y(), Х(0, ) переходит в плоскость с разрезами вдоль оси Х от 1 до , от -1 до .

14. Загальні поняття про системи числення

15.

16.