![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида: , p,q
R (1)
Для нахождения общего интеграла уравнения (1) достаточно найти частное решение этого неоднородного уравнения и сложить его с общим решением соответствующего однородного уравнения.
Поскольку общий интеграл однородного уравнения известен, можем с помощью квадратур получить частное решение неоднородного уравнения, пользуясь методом вариациипроизвольных постоянных.
Данный метод покажем в частном случае, когда уравнение (1) имеет вид: (2)
Общий интеграл однородного уравнения имеет вид:...........................................
Общий интеграл неоднородного уравнения:............................................................
u
Частное решение неоднородного уравнения будем искать:
(3)
y1 y2
В решении (3) v1 и v2 есть функции от переменной x. Имея не одну, а две искомые функции, мы можем кроме исходного уравнения подчинить их ещё одному условию. (4)
То мы имеем систему двух уравнений для отыскания функции v1, v2. Продифференцируем соотношение (3):
Учтём (4): (*)
Учитывая тот факт, что y1 и y2 есть решения однородного уравнения (2), т.е. соотношение
[ ]=0, будем иметь условие:
Имеем систему для отыскания функции v1, v2:
Запишем первообразную функций в виде интегралов с переменным верхним пределом и обозначим переменную через x. Тогда: , где x0 – некоторое фиксированное число.
Подставим найденное значение f в решение (3), будем иметь:
.
Решение можно представить в виде, если ввести множители под знак интегрирования, то получим:
.
Окончательное решение исходного неоднородного уравнения будет иметь вид:
(**)
Соотношением (**) определено общее решение исходного неоднородного уравнения (2), не содержащего первую производную.
При решении линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами во многих случаях удаётся без труда подобрать частное решение и тем самым свести решение задачи к отысканию решения соответствующего его однородного уравнения.
28. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння n-го порядку з сталими коефіцієнтами. Спеціальна права частина.
29.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 267 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!