Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2го порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида: , p,q R (1)

Для нахождения общего интеграла уравнения (1) достаточно найти частное решение этого неоднородного уравнения и сложить его с общим решением соответствующего однородного уравнения.

Поскольку общий интеграл однородного уравнения известен, можем с помощью квадратур получить частное решение неоднородного уравнения, пользуясь методом вариациипроизвольных постоянных.

Данный метод покажем в частном случае, когда уравнение (1) имеет вид: (2)

Общий интеграл однородного уравнения имеет вид:...........................................

Общий интеграл неоднородного уравнения:............................................................

u

Частное решение неоднородного уравнения будем искать: (3)

y₁ y₂

В решении (3) v₁ и v₂ есть функции от переменной x. Имея не одну, а две искомые функции, мы можем кроме исходного уравнения подчинить их ещё одному условию. (4)

То мы имеем систему двух уравнений для отыскания функции v₁, v₂. Продифференцируем соотношение (3):

Учтём (4): (*)

Учитывая тот факт, что y₁ и y₂ есть решения однородного уравнения (2), т.е. соотношение
[ ]=0, будем иметь условие:

Имеем систему для отыскания функции v₁, v₂:

Запишем первообразную функций в виде интегралов с переменным верхним пределом и обозначим переменную через x. Тогда: , где x₀ – некоторое фиксированное число.

Подставим найденное значение f в решение (3), будем иметь:

.

Решение можно представить в виде, если ввести множители под знак интегрирования, то получим: .

Окончательное решение исходного неоднородного уравнения будет иметь вид:

(**)

Соотношением (**) определено общее решение исходного неоднородного уравнения (2), не содержащего первую производную.

При решении линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами во многих случаях удаётся без труда подобрать частное решение и тем самым свести решение задачи к отысканию решения соответствующего его однородного уравнения.

28. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння n-го порядку з сталими коефіцієнтами. Спеціальна права частина.

29.