Линии 2-го порядка

1. Эллипс.

Эллипсом наз-ся геометрическое место точек пл-ти, сумма расстояний от которых до двух данных точек пл-ти F₁ и F₂(фокусов) есть величина постоянная.

Составим ур-е эллипса, считая известными величинами: расстояний 2а от точки эллипса до фокуса; расстояние между фокусами. Отнесем пл-ть, в кот. расположен эллипс, к декартовой системе координат ху. Начало координат расположим в середине отрезка [F₁,F₂]; ось Х проведем через F₁,F₂. Пусть М(х,у) - точка эллипса. r₁-расстояние от т.М до F₁, r₂-соответственно до F₂. Тогда по определению эллипса r₁+ r₂=2а. Учитывая, что r₁= ,а r₂= , можем з записать: . Это неявное ур-е эллипса.

r₁ r₂ ; ;

F(-a;0) F(a;0) ; ; ;

a⁴-2a²xc+x²c²=a²x²-2a²xc+a²c²+a²y²; (c²-a²)x²-a²y²=a²(c²-a²); (a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²).

По св-ву сторон треугольника r₁+r₂>2c, т.е. 2а>2с или а>c. Следовательно а²-с²>0. Положим в²=а²-с² и разделим обе части последнего ур-я на а²b². Придем к каноническому ур-ю эллипса: , b²=a²-c² (1.1)

Легко проверить, что т. М₁(-x,-y),M₂(-x,y),M₃(x,-y) удовлетворяют ур-ю эллипса. Это означает, что у эллипса есть центр симметрии т. О(0;0) и оси симметрии ОХ,ОУ. Точки пересечения эллипса с осями симметрии наз-ся вершинами эллипса.

Пусть А₁,А₂ вершины, лежащие на оси Х, а В₁ и В₂ –вершины, лежащие на оси У. Найдем координаты этих точек. Положим в ур-ии у=0: х²=а²; х₁=а, х₂=-а. Поэтому А₁=(-а;0), А₂=(а;0), аналогично В₁=(0;-b), B₂=(0;b). Отрезки, заключенные между вершинами эллипса, наз-ся его осями: А₁А₂-большая(фокальная), В₁В₂-малая ось. Отношение e=с/a

называют эксцентриситетом. Т.к с<=а, то е<=1. Если е=0, то с=0. B₂ d

Если е=0, то с=0. В этом случае F₁ и F₂ эллипса находятся в начале координат A₁ F₁ F₂ A₂

и эллипс превращается в окружность R=a. Директрисами эллипса

наз-ют 2 прямые параллельные малой оси и отстоящие от нее на расстоянии B₁

a/e. Построим ур-е касательной к эллипсу в т. М(х₁,у₁), не совпадающей ни с вершиной А₁, ни с вершиной А₂. Пусть у=у(х)-явное ур-е эллипса в окрестности т.М. Известно, что явл. угловым коэффициентом касательной к кривой у=у(х) при х=х₁. Определим : воспользуемся .Продифференцировав по х обе части тождества, придем к новому тождеству:

. Для М(х₁,у₁): . Из последнего рав-ва найдем :

Проведем через т. М(х₁,у₁) эллипса в пл. ОХУ прямую с угловым коэффициентои :

у-у₁= (х-х₁); у-у₁= (*y₁a²); y₁ya²-y₁²a²+xx₁b²-x₁²b²=0; xx₁b²+yy₁a²=x₁²b²+y₁²a² (:a²b²); ; - ур-е касательной эллипса в точке касания М(х₁,у₁).

2. Гипербола.

Гиперболой наз-ют геометрическое место точек пл-ти, разность расстояний от которых до 2 данных точек пл-ти F₁ и F₂(фокусов) есть величина постоянная.

Известны разность расстояний от фокусов до точек гиперболы 2а и расстояние между фокусами 2с. Отнесем пл-ть, в которой расположена гипербола, к декартовой системе координат ОХУ. В начало координат О расположим середину отрезка F₁F₂. Ось Х проведем через фокусы F₁(-c;0) и F₂(c;0). Т. М-произвольная точка пл-ти. . Учитывая, что , ; то . M(x,y)

Избавляясь от радикалов, придем к каноническому виду r₁ r₂

гиперболы: , b²=c²-a² (2.1) ^F₁ ^F₂

При замене х на (-х) или у на (-у) ур-е гиперболы не меняется, значит О- центр симметрии, а оси координат- оси симметрии. Точки пересечения А₁ и А₂ гиперболы с осью Х называют вершинами гиперболы. Отрезок А₁А₂- действительная ось, В₁В₂-мнимая ось.

F₁F₂≥A₁A₂ >1; =e; сопряженная ^d

2c 2a директрисы: ; B₂

c≥a; F₁ A₁ A₂ F₂

Запишем явное ур-е верхней части правой ветки гиперболы,

считая что х≥а и у≥0 для рассматриваемой части. Из канонического B₁ директрисы

ур-я гиперболы получаем искомое явное уравнение: . Рассматриваемая часть гиперболы расположена ниже прямой . При х→∞: →1 ветвь гиперболы будет при х→∞ приближаться к прямой так, что расстояние между точками прямой и гиперболы с одинаковыми абсцис. будет →0 при х→∞. Прямая наз-ся асимптотой гиперболы. А в силу симметрии гиперболы относительно осей х и у ее асимптотой будет прямая . Гипербола наз-ся сопряженной к гиперболе (2.1). Касательная к гиперболе (2.1) в т. М(х_1,у₁) имеет ур-е: (2.2)

3. Парабола.

Параболой наз-ют геометрическое место точек пл-ти, равноудаленных от данной точки F(фокуса) и данной прямой(директриса).

Проведем на пл-ти, в которой расположена парабола, ось Х через F директрисе. Через ось У декартовой системы проведем ║ директрисе между F и директрисой на расстоянии р/2 от F, где р - расстояние между фокусом и директрисой.

r =x+ . по определению r=d. d M(x,y) r

x²-px+ +y²=x²+px+ ; е= =1; y²=2px – канонич. ур-е параболы 0 F(p/2;0)

Парабола симметрична относительно ОХ. x=-p/2

Ур-е касател-й к параболе, проходящей через т. М₁, имеет вид: уу₁=р(х+х₁).

Общее ур-е кривой 2_-го порядка: а₁₁х²+2а₁₂ху+а₂₂у²+2а₁₃х+2а₂₃у+а₃₃=0. Дискриминант кривой (Δ):

, ; дискриминантом старших членов кривой 2-го порядка(δ):

	Δ 0	Δ=0
δ>0	эллипс(действ. или мним.)	мнимые прямые, пересек. в одной точке
δ =0	парабола	║прямые(действ., мним., совпадающ.)
δ <0	гипербола	действит. пересек. прямые

26.