Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов

Пусть V и W два различных линейных пространства над полем комплексных чисел. A:V®W, которое ставит в соответствие каждому вектору x пространства V некоторый вектор y пространства W будем называть оператором A, действующим из V в W.

Пример: 1.Для фиксированного числа lÎK линейным оператором является отображение le:V®V, пропорциональное тождественному и переводящее произвольный вектор xÎV в вектор lx.

2.Отображение дифференцирования d будет оператором в пространстве P(R) всех вещественных многочленов.

Оператор А называется линейным, если выполняется два условия:

1.Свойство аддитивности А(х1+х2)=Ах1+Ах2.

2. А(lх)=lАх.

Обозначим через L(V,W) множество всех линейных операторов, действующих из V в W.

Два линейных оператора А и В будем считать равными, если для любого xÎV Ax=Bx.

Под суммой двух линейных операторов А и В принимают оператор А+В, такой что для любого xÎV: (А+В)х=Ах+Вх.

Под произведением линейного оператора А на число l, принимаем число lА, такое что для любого xÎV (lА)х=lАх.

Оператор q называется нулевым, если для любого xÎV qх=0.

Свойства операций сложения и умножения лин. операторов:

1. l*(А*В)=(l*А)*В=А*(l*В).

2. А*(В+С)=А*В+А*С.

3. (А+В)*С=А*С+В*С.

4. (А*В)*С=А*(В*С)=В*(А*С).

Ядром лин.оператора АÎ L(V,W) называется такое множество KerA векторов пространства V,что " х ÎKerA А*х=0.

Образом оператора А называется множество ImA всех векторов пространства V, каждый из которых имеет преобразование,то есть если уÎ ImA, то $ хÎV, у=А*х.

Размерность подпространства ядра KerA наз. деффектом оператора А dim(KerA)=defA.

Размерность подпространства образованного оператором ImA наз. рангом оператора Dim(ImA)=rangA.

Число l называется собственным значением (числом)

лин.оператора А Î L(V,W), если в пространстве V можно найти такой ненулевой вектор х, что:

А*х=l*х, х¹0 (1).

Любой ненулевой вектор, удовлетворяющий этому равенству называется собственным вектором оператора А.

Равенство (1) можно записать в виде:

(А-lI)х=0, где I-тождественный оператор.

Так как х¹0, то ясно,что dim(KerA) ³1.

Пусть n - размерность пространства V. Известно, что

dim(Ker(А-lI))+ dim(Im(А-lI))= n

Þ rang(А-lI)<=n-1, но тогда det (А-lI)=0.

Таким образом, если l является собственным значением оператора А, то l является корнем характеристического уравнения

det(А-lI)=0.

Теорема: Для того, чтобы комплексное число l было собственным значением лин.оператора А необходимо и достаточно,чтобы это число являлось корнем характеристического уравнения det (А-lI)=0.