Группы, кольца, поля (определения и примеры)

Группа – непустое множество G, на котором задана бинарная операция *, которая удовлетворяет следующим условиям:

1.ассоциативность: " a, b, c Î G (a*b)* c = a* (b*c);

2.существование единственного нейтрального элемента e: " a Î G a*e=e*a=a;

3.существование единственного симметричного элемента а': " a Î G $! a’ÎG: a*a’=a’*a=e;

Если заданная операция – умножение (сложение), группа называется мультипликативной (аддитивной). Группа называется коммутативной (абелевой), если операция коммутативна, т.е. " a, b Î G a*b = b*а.

Примеры групп: (Z, +) – множество целых чисел относительно операции сложения, (2 Z, +), (Z,*), (Q, +), (Q \{0},*), множество всех векторов плоскости относительно операции сложения.

Кольцо – множество К, на котором заданы операции сложения и умножения и выполняются следующие аксиомы:

1." a, b, c Î К (a+b)+ c = a+ (b+c);

2." a Î К $! еÎК (е= 0): a+ 0=0+ a=а;

3." a Î К $! (- а) ÎК: a+ (- a) = (- а) +a= 0;

4." a, b Î К a+b = a+b;

5." a, b, c Î К (ab) c = a (bc);

6." a, b, c Î К (a+b) c = aс+bc), a(b+ c)= ab+ac;

Кольцо является абелевой группой относительно операции сложения.

Примеры колец: Z, Q, R, С, .

Кольцо называется коммутативным, если " a, b Î К ab = bа.

Кольцо называется кольцом с единицей, если $ еÎК: " a Î К еa = aе=а;

Кольцо без ненулевых делителей нуля называется областью целостности (a и b Î К – делители нуля, если а¹0, b¹0, но ab=0).

Поле – коммутативная область целостности с единицей, в которой каждый ненулевой элемент обратим.

Примеры колец: Q, R., С.

7. Дискретні випадкові події. Числові характеристики випадкових подій та їх властивості.

8. Диференціальні рівняння, що припускають зниження порядку.

9. Диференціальні рівняння, які не мають розв’язків відносно похідної. Рівняння Лагранжа і Клеро..