Дифференцируемось функций многих действительных переменных. Экстремумы функций многих действительных переменных

Опр.1 Функции, которые определены на множествах n -мерного арифметического евклидового пространства Rⁿ и значениями которых являются действительные числа, называются функциями многих переменных f(x)=f(x₁, …, x_n), x Rⁿ.

Опр.2 Если функция f(x) определена в точке x Rⁿ и в некоторой ее окрестности, то называется частной производной функции f по k-й переменной.

Опр.3 Функция f(x), x Rⁿ называется дифференцируемой в точке x Rⁿ, если ее полное приращение можно представить в виде

,

где A_i=const, α_i(Δx₁,…, Δx_n) – бесконечно малые функции при Δx_i→0.

Теорема 1 Если функция f(x) дифференцируема в точке x Rⁿ, то она непрерывна в этой точке.

Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости функции в точке) Если функция f(x) дифференцируема в точке x Rⁿ, то в этой точке существуют частные производные , i = 1, …, n.

Следствие Если функция f(x) дифференцируема в точке x Rⁿ, то представление ее полного приращения единственно:

Опр.4 Дифференциалом функции f(x), x Rⁿ, называется линейная функция вида

.

Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости функции в точке) Если функция f(x) в некоторой окрестности точки x Rⁿ имеет непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке.

Опр.5 Точка x₀ Rⁿ называется точкой локального минимума (соответственно локального максимума) функции f(x), если существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, что для всех x U(x₀), x≠x₀, выполняется неравенство f(x)>f(x₀) (соответственно f(x)<f(x₀)).

Опр.6 Точки локального максимума и минимума функции называются точками локального экстремума.

Теорема 4 (необходимое условие локального экстремума) Если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке x₀ Rⁿ, то в этой точке частные производные (x₀)=0, i=1, …, n.

Теорема 5 (достаточное условие локального экстремума) Пусть точка x₀ Rⁿ является стационарной точкой функции f(x), т.е. (x₀)=0, i = 1, …, n; квадратичная форма , т.е. второй дифференциал функции f(x) в точке x₀ Rⁿ. Тогда, если квадратичная форма положительно определена, т.е. Δ>0, то x₀ – точка локального минимума, если отрицательно определена, т.е. Δ<0, то x₀ – точка локального максимума.