Виды уравнений плоскостей и прямых в пространстве. Условия их параллельности и перпендикулярности

Пусть в пространстве введена декартова система координат, которая характеризуется правым ортонормированным базисом. Составим уравнение плоскости, которое проходит через точку М0 с координатами (х0,у0,z0) и перпендикулярно вектору а (А,В,С).

Пусть точка М(х,у,z) – произвольная точка плоскости.

М0М=(х-х0,у-у0,z-z0) лежит в рассматриваемой плоскости и поэтому ортогонален а(А,В,С). В силу этого (а, М0М)=0.

А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 (1)

Уравнение (1)- уравнение плоскости, проходящей через т.М0 (х0,у0,z0) и перпендикулярно а. Является частным случаем линейного уравнения

Ах+Ву+Сz+D=0 (2)

Покажем, что любое уравнение вида (2) является уравнением какой-либо плоскости:

Пусть х0,у0,z0 одно из решений линейного уравнения

Ах0+Ву0+Сz0+D=0

А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 ~ (1)Þявл.ур.пл.

Итак, уравнение (2)- общее уравнение плоскости.

Коэффициенты А,В,С являются координатами вектора перпендикулярного плоскости.

1. Если один из коэф. в уравнении(2), напр. А, равен 0, тогда а(0,В,С)^оси Х. В этом случае плоскость параллельна оси Х.

2. Если в ур. (2) два каких-либо коэф.,напр. А и В, равны 0, то в этом случае плоскость должна быть параллельна оси Х и оси У Þ плоскость параллельна плоскости ХУ.

3. Если в уравнении (2) D=0, то плоскость проходит через начало координат.

Пусть в уравнении (2) коэф. D¹0, тогда уравнение можно привести к виду

x/a+у/b+z/g=1 (3)

Уравнение (3)- уравнение плоскости в отрезках на осях.

z

g

b у

a

х

Разделив уравнение (2) на нормирующий множитель ÖА²+В²+С^2,

получим нормальное уравнение плоскости (4).

Пусть т. М(х,у,z) – произвольная точка плоскости,

М1,М2,М3- три точки пространства с координатами соответствущие индексам. В этом случае М1М2, М1М3, М1М- будт компланарны.

х-х1 у-у1 z-z1

х2-х1 у2-у1 z2-z1 =0 - ур.(5)

х3-х1 у3-у1 z3-z1

Уравнение (5)- уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пусть т. М(х,у,z) – произвольная точка плоскости,

Вектор r(x,y,z)- её радиус-вектор.

т. М(х,у,z)Îплоскости, когда векторы p, q, М0М=r-r0 копланарны, т.е. линейно независимы.

r-r0=u*p+v*q, где u, v- действительные.

х=х0+ u*pх+v*qх М0 q

у=у0+ u*pу+v*qу (6) p

z=z0+ u*pz+v*qz r

r0

Уравнение (6)- параметрическое уравнение плоскости, проходящей через точку и два неколлинеарных вектора.

Рассмотрим две плоскости А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z+D2=0.

Плоскости параллельны:

А1/А2=В1/В2=С1/С2, А2¹0,В2¹0,С2¹0.

Плоскости перпендикулярны:

А1/А2=В1/В2, С1=0, С2=0

А1*А2+В1*В2+С1* С2=0.

Известно, что две плоскости пересекаются по прямой, поэтому система двух уравнений (1) определяет прямую в плоскости, если эти плосткости непараллельны.

А1х+В1у+С1z+D1=0 (1)

А2х+В2у+С2z+D2=0.

Уравнения (1)- неявные уравнения прямой в пространстве.

Пусть дана т.М0(х0,у0,z0) и направляющий вектор прямой а=(ах,ау,аz), т.М(х,у,z) – произвольная точка плоскости, вектор r(x,y,z)- её радиус-вектор.

т.М(х,у,z)Îпрямой, когда векторы а, М0М-коллинеарны.

М0М=t*a,

r-r0=t*a,

где t- параметр.

х=х0+ t*aх

у=у0+ t*aу (2)

z=z0+ t*az М0 а

r0

r М

Уравнения (2)- параметрические уравнения прямых.

При aх¹0, aу¹0, az¹0 из (2) получим равенства:

х-х0/aх =у-у0/aу =z-z0/az =t (3)

Уравнения (3)- канонические уравнения прямой, проходящей через т. М0 параллелльно вектору а.

Пусть заданы прямые

y=к1х+d1

y=к2х+d2

Две прямые перпендикулярны, если к1* к2=-1.

Две прямые параллельны, если к1= к2.