Векторы в трехмерном пространстве. Понятия правого ортонормированного базиса. Скалярное, векторное и смешанное произведения

Направленный отрезок АВ называется вектором.

Два или более векторов называются коллинеарными, если они параллельны или лежат на одной прямой.

Три или более векторов называются компланарными, если все они параллельны некоторой плоскости или лежат в одной плоскости.

Свойства линейных операций над векторами:

1. а+b=b+а;

2. (a+b)+c=a+(b+c);

3. a+0=a; 1*a=a.

4. (a*b)*a=a*(b*a);

5. (a+b)*a=a*a+b*a;

6. a*(a+b)= a*a+a*b;

Множество векторов будем называть векторным пространством, если линейные операции над любыми векторами множества дают векторы того же множества.

Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная совокупность векторов этого пространства, которая является линейно независимой и такой, что любой вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов упорядоченной совокупности.

Число векторов базиса называется размерностью данного векторного пространства.

В качестве базиса можно взять любых три некомпланарных вектора, т.е. размерность пространства равна трем.

Обычно пользуются ортонормированными базисами, которые состоят из трех единичных векторов попарно ортогональных.

Пусть векторы a,b,c образуют ортонормированный базис трехмерного пространства, тогда базис называется правым, если в-р a совмещается с в-ром b (b с с) поворотом на угол π/2 против часовой стрелки. Левый – по часовой стелке.

Пусть векторы a,b,c образуют базис трехмерного пространства, тогда любой вектор d является линейной комбинацией базисных векторов

d=a*a+b*b+g*c,

числа a, b и g называются координатами вектора d в базисе {a,b,c}, d=(a, b, g).

Скалярным произведением (a,b) называется число равное произведению длин перемножаемых векторов на косинус угла между ними

(a,b)=çaççbçcos(aÙb).

Свойства скалярного произведения:

1. (a,b)= (b,а);

2. (a,а)=çаç²=а²;

3. "a: (aа,b)=(a,ab)=a(a,b);

4. a¹0, b¹0, (a,b)=0, a^b-ортогональны;

5. (a+b,c)=(a,c)+(b,c).

Векторным произведением двух ненулевых векторов a и b называют такой вектор [a,b], что его длина равна произведению длин векторов a,b на синус угла между ними | [a,b] |=çaççbçsin(aÙb), он перпендикулярен каждому из векторов a и b, и направлен так, что упорядоченная тройка a,b, [a,b] правая.

Свойства векторного произведения:

1. [a,b]=-[b,а];

2. [aа,b]=a[a,b];

3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c];

4. [a,b]=0, если a и b коллинеарны

Геометрический смысл– площадь параллелограма, построенного на векторах a и b.

Смешанным произведением a,b,c называется число равное скалярному произведению (a,b,c)=(a,[b,c])=([a,b],c).

Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произв. отличных от нуля трех некомпланарных векторов по абсолютной величине или модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

2. При циклической перестановке некомпланарных a,b,c в (a,b,c) последнее не меняется (a,b,c)=(c,a,b)=(b,c,a)=(a,b,c),

При перестановке двух любых векторов в (a,b,c) последнее меняет знак

(a,b,c)=-(b,a,c)=-(c,b,a)=-(a,c,b).

a1 b1 g1

(a,b,c)= a2 b2 g2.

a3 b3 g3