Схема замещения электрической сети как связанный граф

Основоположником применения теории графов при расчете электрических схем является Кирхгоф, который сформулировал основные топологические правила решения контурных уравнений схемы. Он впервые показал функциональную связь электрической схемы с ее геометрией.

Схема замещения электрической сети представляется в виде связанного направленного (ориентированного) графа и состоит из ветвей (ребра), связывающих различные узлы (вершины). Эти ветви организуют цепочки (пути графа), которые, замыкаясь, могут образовывать замкнутые контуры. Замкнутый контур, у которого хотя бы одна из ветвей является внешней по отношению к другим замкнутым контурам, называется замкнутым независимым контуром.

Рассмотрим схему замещения электрической сети (рис.4.1).

Схеме замещения на рис. 4.1., соответствует связанный направленный граф, который содержит: узлы - 1, 2, 3, 4, 5; ветви - , , , , , ; контура, образуемые ветвями: , , . Замкнутыми независимыми контурами будут являться контура, образованные ветвями: , .

Факт совпадения конечной точки ветви с отдельным узлом графа называется инциденций.

Для направленного графа могут быть определены:

1. Матрица соединений ветвей в узлах (первая матрица инциденций);

2. Матрица соединений ветвей в независимые контуры (вторая матрица инциденций).

Матрица соединений впервые введена Пуанкаре. Она предназначена для аналитического описания направленного графа электрической сети и отображает связь отдельных узлов в этой схеме. Матрица - это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу узлов графа , а число столбцов - числу ветвей . Она обозначается следующим образом:

, , .

При этом номера строк соответствуют номерам узлов, а номера столбцов - номерам ветвей. Элементы матрицы могут принимать одно из трех значений:

, если узел является начальной вершиной ветви ;

, если узел является конечной вершиной ветви ;

, если узел не принадлежит ветви .

Каждая строка показывает, какие ветви присоединяются к данному узлу схемы, а каждый столбец – какие узлы являются начальным и конечным узлами данной ветви. Таким образом, в графе, содержащем изолированные узлы, соответствующие строки матрицы будут содержать только нулевые элементы.

Условием правильности составления матрицы является наличие только одной положительной единицы и только одной отрицательной единицы в каждом ее столбце.

Для направленного графа, показанного на рис. 4.2, матрица будет иметь вид:

Матрица контуров служит для обобщенного аналитического описания различных совокупностей ветвей графа, образующих линейные замкнутые контуры. Матрица - это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу независимых контуров графа , а число столбцов - числу ветвей . Она обозначается следующим образом:

, , .

При этом номера строк соответствуют номерам независимых контуров, а номера столбцов - номерам ветвей.

Элементы матрицы определяются следующим образом:

, если ветвь входит в контур и их направления совпадают;

, если ветвь входит в контур и их направления не совпадают;

, если ветвь не входит в контур .

Каждая строка матрицы показывает, какие ветви входят в состав соответствующего независимого контура и какое направление имеют относительно направления контура. Каждый столбец той же матрицы показывает, в состав каких независимых контуров входит данная ветвь и совпадает ли ее направление с направлением эти контуров.

Условием правильности составления матрицы контуров, если все ветви входят в контуры, является наличие хотя бы одной положительной либо отрицательной единицы в отдельном ее столбце. Исключение составляют столбцы, которые содержат ветви, не входящие ни в один линейный замкнутый независимый контур графа. В этом случае столбцы матрицы будут содержать только нулевые элементы.

Для направленного графа, показанного на рис. 4.2, матрица будет иметь вид: