Метод простой итерации

Исходная система линейных алгебраических уравнений

(3.1)

В предположении, что , , приводится к виду

(3.2)

Система уравнения (3.2) согласно методу простой итерации решается следующим образом:

1) задаются начальными (нулевыми) приближениями неизвестных , ;

2) значения подставляются в правые части системы (3.2) и тем самым определяются следующие приближения неизвестных , ;

3) подстановкой полученных значений находится следующее приближение и т.д.

Таким образом, на -ом шаге итерационного процесса система (3.2) запишется как

(3.3)

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения , полученные на двух смежных итерациях, не будут отличаться на величину, меньшую заданной погрешности решения , т.е. до выполнения условия

, . (3.4)

При выполнении неравенства (3.4) для произвольного начального приближения , итерационный процесс называется сходящимся. В противном случае итерационный процесс не приводит к решению и называется расходящимся.

Условием сходимости итерационного процесса является выражение:

, , . (3.5)

В матричном виде систему (3.1) можно представить следующим образом

.

В дальнейшем исходная система (3.1) заменяется системой

и приводится к виду

.

Тогда матрицу неизвестных согласно системе (3.3) можно записать:

.

Пример 3.1. Методом простой итерации с точностью определить напряжения в узлах электрической сети, описываемых следующей системой уравнений:

Решение. Проверим достаточное условие сходимости (3.5)

- условие выполняется,

- условие выполняется,

- условие выполняется,

- условие выполняется.

Приводим систему линейных алгебраических уравнений к виду (3.2)

Задаем начальное приближение:

.

Определяем первое приближение:

.

Определяем второе приближение:

.

Дальнейшие расчеты выполняются в соответствии с вышеизложенным алгоритмом. Результаты вычислений представлены в таблице.

Результаты расчета

№ итерации
	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
	27.115344	12.166667	41.550218	25.724820
	20.452435	21.067212	55.839344	38.215894
	20.415115	16.997163	56.563434	45.645101
	19.755137	14.885029	59.281450	44.882491
	17.900517	15.273254	59.111408	45.292926
	18.163006	14.423980	58.640808	45.564942
	18.060997	14.371238	58.902613	45.179391
	17.891799	14.486831	58.762686	45.260422
	17.995880	14.377573	58.723224	45.266178
	17.970948	14.409265	58.768850	45.214391
	17.958636	14.422125	58.742067	45.239364
	17.976558	14.405994	58.744407	45.235717
	17.969299	14.414212	58.750543	45.230288
	17.969311	14.414008	58.745774	45.235095
	17.971645	14.411862	58.747251	45.233564
	17.970110	14.413423	58.747737	45.233210
	17.970454	14.413022	58.746989	45.233931
	17.970680	14.412824	58.747356	45.233559
	17.970422	14.413076	58.747334	45.233597
	17.970528	14.412964	58.747239	45.233683
	17.970533	14.412964	58.747310	45.233613
	17.970498	14.412997	58.747291	45.233634
	17.970520	14.412975	58.747283	45.233641
	17.970516	14.412980	58.747294	45.233630

Таким образом: , , , .