Метод Ньютона-Рафсона

Итерационный метод Ньютона-Рафсона используется для решения нелинейного уравнения вида

.

В основу этого метода положена линеаризация исходного нелинейного уравнения. В этом случае нелинейную функцию записывают в виде ряда Тейлора (разложение по степеням полинома):

.

В случае линейной постановки задачи при решении методом Ньютона-Рафсона используется следующее выражение:

.

Поскольку решение находим при , то, приняв , получим

.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения , полученные на двух смежных итерациях, не будут отличаться на величину, меньшую заданной погрешности решения , т.е. до выполнения условия

или

.

Для корректного применения метода необходимо определить интервал изменения переменной, на котором уравнение имеет точно один корень. При выборе начального приближения должно выполняться следующее условие

.

Следует отметить, что данный метод применим лишь для тех нелинейных функций, которые монотонны, гладки, дифференцируемы, не имеют разрывов 1-го и 2-го рода и однозначно определены.

Пример 3. Методом Ньютона-Рафсона найти решение нелинейной функции :

.

Расчеты выполнить с двойной машинной точность .

Решение. Приравняем функцию к нулю:

.

Вычислим первую производную :

.

Определим возможную область существования решения. Для этого необходимо определить интервал, на котором функция меняет свой знак, т.е.:

при , , ;

при , , ;

при , , .

Выбираем за начальное приближение , так как

.

Определяем первой приближение:

,

.

Определяем второе приближение:

,

.

Дальнейшие расчеты выполняются с вышеизложенным алгоритмом. Результаты вычислений представлены в таблице.

Результаты вычислений

	2,000000	37,000000	65,000000	0,569231
	1,430769	10,140369	33,773415	0,300247
	1,130522	1,263773	26,109534	0,048403
	1,082119	0,020977	25,257471	0,000831
	1,081289	0,000006	25,243609	0,000000
	1,081289	0,000000	25,243605	0,000000

Окончательно имеем: .