Метод Гаусса-Зейделя

Этот метод, так же как и метод простой итерации, базируется на использовании уравнений системы, приведенных к виду (3.2). Однако в отличие от метода простой итерации для вычисления -ой переменной на каждом -ом шаге итерационного процесса используются значения переменных, вычисленные на предыдущем -ом шаге, так и на данном. При этом на -ом шаге итерационного процесса система (3.2) примет вид

(3.6)

Условием сходимости итерационного процесса по методу Гаусса-Зейделя является выражение (3.5).

Пример 3.2. Найти решение системы алгебраических уравнений, рассмотренной в примере 3.1 с помощью метода Гаусса-Зейделя.

Решение. Проверим достаточное условие сходимости (3.5)

- условие выполняется,

- условие выполняется,

- условие выполняется,

- условие выполняется.

Приводим систему линейных алгебраических уравнений к виду (3.2)

Задаем начальное приближение:

Определяем первое приближение:

,

,

,

Дальнейшие расчеты выполняются в соответствии с вышеизложенным алгоритмом. Результаты вычислений представлены в таблице.

Результаты расчета

№ итерации
	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
	27.115344	22.424116	46.851929	42.360552
	24.730290	16.023911	59.682907	45.077610
	18.201203	14.688184	58.735208	45.268326
	18.080373	14.442402	58.786626	45.239376
	17.968024	14.416285	58.747886	45.234934
	17.971697	14.413132	58.748012	45.233749
	17.970328	14.412986	58.747268	45.233652
	17.970526	14.412977	58.747299	45.233635
	17.970510	14.412980	58.747288	45.233635
	17.970515	14.412981	58.747290	45.233635

Таким образом: , , , .