Производная и дифференциал. Пусть функция определена на множестве , ,

Пусть функция определена на множестве , , , точка является предельной для множества .

Определение 1. Производной функции в точке называют предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при (при условии, что этот предел существует): .

Определение 2. Функцию называют дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде , где – вещественное число, .

Теорема 1. Для того, чтобы функция являлась дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы .

Определение 3. Дифференциалом функции в точке называют главную линейную относительно часть приращения функции в этой точке: .

Определение 4. Дифференциалом независимой переменной называют приращение этой переменной: .