Основные правила вычисления дифференциалов

1. Если функции , дифференцируемы в точке , принадлежащей их общей области определения, то сумма (разность), произведение и частное (при условии ) этих функций также дифференцируемы в этой точке, причем справедливы следующие формулы:

, , .

2. Если функция дифференцируема в точке и , то .

3. Пусть функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке . Тогда сложная функция дифференцируема в точке и справедлива формула .

Таблица дифференциалов элементарных функций

1. .	2. .	3. .
4. , .	5. , .	6. , .
7. .	8. .	9. .
10. .	11. .	12. .
13. .	14. .

Пример 1. Вычислить производную функции .

Решение. .

Пример 2. Найти первый дифференциал функции в точке .

Решение. 1) Вычислим производную функции : .

2) Вычислим значение производной функции в точке : .

3) Тогда .

Уравнение касательной к графику функции в точке :

.

Определение 5. Нормалью к графику функции в точке называют прямая, перпендикулярную к касательной к графику функции в точке .

Уравнение нормали к графику функции в точке :

.

Геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона к положительному направлению оси касательной к графику этой функции в точке .

Пример 3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .

Решение. 1) Вычислим при : .

2) Вычислим значение производной функции в точке : .

3) Составим уравнение касательной: или .

4) Составим уравнение нормали: или .

Экономический смысл производной: производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент .