Числовые последовательности

С понятием предела вы уже встречались ранее в школьном курсе математики при изучении геометрической прогрессии, длины окружности, площади круга. Мы рассмотрим это понятие заново, так как оно является фундаментальным в математическом анализе.

Рассмотрим функцию, у которой областью изменения аргумента является множество всех натуральных чисел 1, 2, 3,…. Такая функция называется функцией целочисленного (натурального) аргумента а = а (n). Значения функции, соответствующие значениям n = 1, n = 2, n = 3,…, обычно обозначают символами а ₁, а ₂, а ₃,…, а _n,… и называют последовательностью. Значения а ₁, а ₂, а ₃,… называются членами последовательности, а формула, выражающая n -й член последовательности, – формулой общего члена.

Рассмотрим некоторые примеры последовательностей, заданных формулой общего члена:

1) или, что то же, –1, 1, –1,…;

2) или ,…;

3)

4) полагая (n = 1, 2,…), т.е. каждый член последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предшествующих ему членов, получим последовательность Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5,…

Геометрическое изображение последовательности можно получить, если построить на числовой оси точки с абсциссами, равными величинам соответствующих членов последова-тельности .

На рис. 1 изображены последовательности (а) и (б).

Рис. 1

Введем некоторые определения.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что для всех n верно неравенство .

Геометрически это означает, что все члены последовательности принадлежат интервалу (–М, М).

Последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной.

Так, из приведенных ранее примеров последовательность ограниченная, так как ; последовательность – ограниченная, так как , а последовательности и неограниченные, так как при достаточно больших n модули членов этих последовательностей будут больше любого наперед заданного числа.