Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Теорема 1. Скінчене або зчисленне об'єднання множин потужності континуум має потужність континуум.
Доведення. Нехай та card An=c. Для кожного n , тоді , тобто .
Теорема 2. Множина має потужність континуум.
Доведення теореми випливає з відношення ↔ . Оскільки будь-яке число з можливо представити вказаним дробом(дивись курс алгебри), то множина ~ , що і треба було довести.
Теорема 3. Декартовий добуток скінченої або зчисленної кількості множин потужності континуум має потужність континуум.
Доведення. Нехай А= , де card An=с, для кожного n. тобто . Оскільки card An=с, n=1, 2,... маємо, що для кожного n=1, 2,...
(згідно з попередньою властивістю). Тоді будь-якому однозначно відповідає послідовність натуральних чисел, а набору (a1,…,ak,…) множина
котру можна розташувати у послідовність за зростанням суми індексів. Таким чином, елементу (a1,…,ak,…) множини А взаємно-однозначно відповідає елемент множини В. Отже А~В, що й треба було довести.
Приклад. Rn має потужність континуум.
Теорема 4. Об'єднання континуум множин потужності континуум має потужність континуум.
Доведення. Нехай А= , де card X=c, та для кожного card =c. Оскільки Х~R1, то будь-якому взаємо-однозначно відповідає дійсне число . При кожному ~ = (пряма декартової площини). Тоді ~ , отже card A=c.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 590 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!