![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема 1. Скінчене або зчисленне об'єднання множин потужності континуум має потужність континуум.
Доведення. Нехай та card An=c. Для кожного n
, тоді
, тобто
.
Теорема 2. Множина має потужність континуум.
Доведення теореми випливає з відношення ↔
. Оскільки будь-яке число з
можливо представити вказаним дробом(дивись курс алгебри), то множина
~
, що і треба було довести.
Теорема 3. Декартовий добуток скінченої або зчисленної кількості множин потужності континуум має потужність континуум.
Доведення. Нехай А= , де card An=с, для кожного n. тобто
. Оскільки card An=с, n=1, 2,... маємо, що для кожного n=1, 2,...
(згідно з попередньою властивістю). Тоді будь-якому
однозначно відповідає послідовність
натуральних чисел, а набору (a1,…,ak,…) множина
котру можна розташувати у послідовність за зростанням суми індексів. Таким чином, елементу (a1,…,ak,…) множини А взаємно-однозначно відповідає елемент множини В. Отже А~В, що й треба було довести.
Приклад. Rn має потужність континуум.
Теорема 4. Об'єднання континуум множин потужності континуум має потужність континуум.
Доведення. Нехай А= , де card X=c, та для кожного
card
=c. Оскільки Х~R1, то будь-якому
взаємо-однозначно відповідає дійсне число
. При кожному
~
=
(пряма
декартової площини). Тоді
~
, отже card A=c.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 608 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!