Властивості потужності континуум

Теорема 1. Скінчене або зчисленне об'єднання множин потужності континуум має потужність континуум.

Доведення. Нехай та card A_n=c. Для кожного n , тоді , тобто .

Теорема 2. Множина має потужність континуум.

Доведення теореми випливає з відношення ↔ . Оскільки будь-яке число з можливо представити вказаним дробом(дивись курс алгебри), то множина ~ , що і треба було довести.

Теорема 3. Декартовий добуток скінченої або зчисленної кількості множин потужності континуум має потужність континуум.

Доведення. Нехай А= , де card A_n=с, для кожного n. тобто . Оскільки card A_n=с, n=1, 2,... маємо, що для кожного n=1, 2,...

(згідно з попередньою властивістю). Тоді будь-якому однозначно відповідає послідовність натуральних чисел, а набору (a₁,…,a_k,…) множина

котру можна розташувати у послідовність за зростанням суми індексів. Таким чином, елементу (a₁,…,a_k,…) множини А взаємно-однозначно відповідає елемент множини В. Отже А~В, що й треба було довести.

Приклад. Rⁿ має потужність континуум.

Теорема 4. Об'єднання континуум множин потужності континуум має потужність континуум.

Доведення. Нехай А= , де card X=c, та для кожного card =c. Оскільки Х~R¹, то будь-якому взаємо-однозначно відповідає дійсне число . При кожному ~ = (пряма декартової площини). Тоді ~ , отже card A=c.