Передмова. Лекційно-практичний курс

Лекційно-практичний курс

З математичного аналізу.

Частина 1. Вступ до аналізу.

Зміст

Зміст. 2

Передмова. 4

Елементи теорії множин. 5

Лекція №1 Відношення. Функції. 5

Практичне заняття № 1 Тема: Множини. Дії над множинами ………………………… 7

Лекція №2 Відношення порядку. Множина дійсних чисел. Точна верхня (нижня) границя. 8

Практичне заняття № 2 Тема: Відношення, функції. Дії над функціями. 10

Лекція №3 Властивості дійсних чисел. Принцип Архімеда. 11

Практичне заняття №3 Тема: Відношення порядку. Впорядковані множини. Точна верхня і точна нижня грані. Дійсні числа. 13

Практичне заняття № 4 Тема: Верхня та нижня грані множини. Точна нижня та верхня грані. 14

Практичне заняття №5 Тема: Дійсні числа. Формули скороченого множення. Основні нерівності. 16

Практичне заняття №6 Тема: Принцип математичної індукції. 18

Лекція №4. Кардинальні числа. 20

Лекція №5. Множини потужності континуум, та їх властивості. ………………… ……….23

Практичне заняття № 7 Тема: Еквівалентні множини. Зчислені множини. Множини потужності континуум. 25

Елементи топології. 26

Лекція №6 Метричні, нормовані простори. Відкриті, замкнені множини. 26

Лекція №7 Неперервні функції. Гомеоморфізми. 29

Лекція №8. Топологічні простори. Еквівалентні метрики і топології. 31

Практичне заняття № 8 Тема: Елементи топології 33

Послідовності. 35

Лекція №9. Границя послідовності та її властивості 35

Лекція №10. Послідовності в R¹ та в Rⁿ 37

Практичне заняття №9. Тема: Границя послідовності. 40

Практичне заняття №10. Тема: Обчислення границі послідовності. Число е. 42

Лекція №11. Границя функції. Означення по Коші і Гейне. Чудові границі. 44

Лекція №12. Властивості границь. Неперервність. Розриви функцій і ................... 47

Практичне заняття №11. Тема: Границя функції 50

Практичне заняття №12. Тема: 1а, 2а чудові границі. 52

Практичне заняття №13. Тема: Неперервні функції. Точки розриву функції та їх класифікація. 54

Компактні та зв’язні простори. Властивості неперервних функцій на компактних та зв’язних просторах. 56

Лекція № 13. Компактні простори. Компактні множини в R¹ і Rⁿ 56

Практичне заняття №14. Тема: Компактні простори. 59

Лекція № 14. Властивості неперервних функцій на компактних просторах. 60

Лекція № 15. Зв'язні простори. Теорема Больцано-Коші в R¹. Існування і неперервність оберненої функції для строго монотонної неперервної функції. 62

Практичне заняття № 15. Тема: Зв’язні множини. Властивості функцій неперервних на відрізку. Рівномірна неперервність. 64

Лекція № 16. Означення та неперервність елементарних функцій. 66

Лекція № 17. Повні простори. Зв'язок повноти і компактності. Ознака Коші. Теорема про нерухому точку. 69

Практичне заняття № 16. Тема: Повні простори. Ознака Коші. Теорема про нерухому точку. 71

Лекція №18. Початкові відомості про ряди. Числові ряди. 72

Практичне заняття № 17. Тема: Числові ряди, їх збіжність. 75

Література. 78

Передмова

Пропонований посібник призначений для студентів фізико-математичного факультету спеціальності «Математика», а також може використовуватися студентами суміжних спеціальностей, у яких читається курс математичного аналізу.

Виклад матеріалу оснований на підході, який використовує елементи топології та функціонального аналізу. Це дозволяє викладати матеріал за принципом: від загального до окремого. Крім того, такий підхід набагато спрощує доведення ряду властивостей, також більш яскраво демонструє причинно-наслідкові зв’язки матеріалу, який викладається.

Відзначимо, що для ряду властивостей не наводяться доведення, це стосується тих стверджень, які не важко знайти у загальнодоступній літературі (а також довести самостійно).

Протягом всього посібника розташовуються практичні заняття, які, з одного боку, носять тренувальний характер, а з іншого доповнюють викладений теоретичний матеріал.

Крім того, відзначимо, що поділ матеріалу на лекції носить умовний характер і зроблений у відповідності з курсом лекцій прочитаних у студентів фізико-математичного факультету.

Більш того, студент в кінці знайде список основної літератури по теорії і практиці в сполученні з якими, ми сподіваємося, даний посібник допоможе освоїти предмет більш глибше.