Длина дуги кривой. Определение и вычисление

Пусть Г есть гладкая кривая определенная функциями , , имеющими на [a,b] непрерывные производные. Введем разбиение и составим сумму ,

представляющую собой длину ломаной, вписанной в Г с вершинами в точках, соответствующих значениям .

Имеем тогда (

В первом равенстве цепи мы воспользовались теоремой о среднем.

Чтобы обосновать, что , введем вспомогательную функцию

очевидно непрерывную на кубе Модуль ее непрерывности на обозначим через . Так как расстояние между точками ( не превышает , то и потому .

Мы доказали, что длина гладкой кривой существует и выражается формулой

(1)

При замене переменной при помощи непрерывно дифференцируемой функции получим, очевидно,

где что показывает инвариантность определения длина дуги.

Если кривая (плоская) задана уравнением где имеет непрерывную производную на [a,b], то, очевидно, ее длина дуги выражается формулой

(надо положить в формуле (1) t=x, y=f(x), z=0).

Пример 1: