Тогда пусть , фигуры, которые удовлетворяют условию: ;

Тогда внешний объем равен: , а внутренний: .

Если , то множество - кубируемое.

Лемма: (объем цилиндра)

- множество точек плоскости, удовлетворяющих условию и , то - цилиндр. Его объем равен: . Так как - квадрируемое множество, то: . Значит ;

, соответственно . Значит объем цилиндра равен .

Теперь непосредственно рассмотрим вращение произвольное тело вращения.

Пусть - есть произвольная непрерывная функция, причем на отрезке . Будем вращать данную кривую на отрезке вокруг оси . Получим тело вращения .

Разобьем отрезок : . Пусть , . Рассмотрим два цилиндра и (см. рис.) , . Теперь пусть

и . Нетрудно видеть, что

и . Это означает, что если функция интегрируема на отрезке , то и . При вращении вокруг оси формула примет вид .

Пример: Рассмотрим вычисление объема тела вращения на примере шара:

. Значит объем шара равен: .