Интегрируемость по Риману монотонной функции

Теорема 1:

Если функция монотонна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство:

Возьмем произвольное разбиение

Рассмотрим разность между верхней и нижней суммой Дарбу, пусть для определенности f не убывает на , тогда мы получим, что

Получим, что разность между верхней и нижней суммой Дарбу

Теорема доказана.