Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница

Рассмотрим функцию , интегрируемую на отрезке . По аддитивному свойству интеграла:

, можно найти отрезок на котором представляется возможным рассмотреть функцию .

Теорема:

Если функция интегрируема на отрезке , то непрерывна на отрезке .

Доказательство:

Рассмотрим функцию ,

, где , , , где

Теорема доказана.

Теорема:

Пусть функция интегрируема на отрезке , непрерывна в точке , тогда функция дифференцируема в точке и .

Доказательство:

,

, , т.е.

.

Теорема доказана.

Следствие:

Если функция непрерывна на отрезке , то , т.е. - первообразная .

,

Функция непрерывна в точке , ; , где непрерывна на отрезке . Заключаем, что .

Т.е. любая непрерывная функция имеет первообразную.

Теорема доказана.

Формула Ньютона-Лейбница:

Функция непрерывна на отрезке , тогда она имеет первообразную. Пусть - её произвольная первообразная. Тогда .

Доказательство:

Функция непрерывна на отрезке , - первообразная функции ,

, ,

. Теорема доказана.