Замена переменной в неопределенном интеграле

Основную роль в интегральном исчислении играет формула замены переменных (или подстановки) (1).

В этой формуле предполагается, что есть непрерывно дифференцируемая функция на некотором интервале изменения , а - непрерывная функция на соответствующем интервале или отрезке оси . Докажем это утверждение. Слева в (1) стоит функция, которая является первообразной от . Ее производная по равна:

Следовательно, если ввести в этой функции подстановку , то получится первообразная от функции . Интеграл же справа есть, по определению, некоторая первообразная от . Но две первообразные для одной и той же функции отличаются на некоторую постоянную . Это и записано в виде первого равенства (1). Что касается второго, то оно носит формальный характер - мы просто уславливаемся писать:

Пример: .