Теорема о связи предела функции с бесконечно малой

Если имеет конечный предел, т.е., , то ее можно представить в виде , где - б.м. Обратно: Если функцию можно представить в виде , где С – число , - б.м. при , то .

Доказательство:

1 часть теоремы:

1) Пусть . Это значит .

Положим . (*) Тогда б.м. Из (*) находим: .

2 часть теоремы:

2) Пусть . (**) Т.к. - б.м., то

, но из (**) . Таким образом, нашлось для всех х из - окрестности точки а выполняется неравенство:

. Теорема доказана.

Таблица эквивалентности бесконечно малых

Пусть бесконечно малая величина при
	Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при , есть величина бесконечно малая: бесконечно малая.
	Произведение бесконечно малых при на функцию ограниченную в некоторой окрестности точки есть бесконечно малая при : бесконечно малая.
	Произведение бесконечно малая на постоянную величину есть величина бесконечно малая бесконечно малая: бесконечно малая
	Произведение конечного числа бесконечно малых при есть величина бесконечно малая при .
	при малом