Нематематическая индукция играет существенную роль в математическом исследовании

Всякое рассуждение, содержащее переход от частных рассуждений к общему, называется индукцией.

Рассмотрим некоторые примеры рассуждения по индукции. Так, значения многочлена при равны соответственно 41, 43, 47 и являются простыми числами,т.е. числами, которые делятся только на единицу и на себя нацело. Но отсюда еще не следует, что значения этого многочлена будут простыми числами при любом целом положительном значении х. Например, при значение этого многочлена равно и уже не является простым числом. Приведем еще один пример. Выдающийся немецкий математик Лейбниц доказал, что при всяком целом положительном n выражение делится на 3, выражение делится на 5, а выражение делится на 7. Из этих частных случаев он сделал общий вывод о том, что всякое выражение вида , где k – целое положительное нечетное число, делится на k, и сам же заметил, что число уже не делится на 9. Отсюда вытекает, что делать общие выводы по индукции (на основании конечного числа частных случаев!) нужно с большой осторожностью. Общий вывод можно сделать лишь тогда, когда рассмотрены все возможные частные случаи. Еще один пример. Найдем сумму S(n) первых n нечетных чисел натурального ряда. Очевидно, S(3) Мы замечаем, что сумма нечет

ных чисел равна квадрату от числа взятых нечетных чисел. Верен ли этот вывод для любого числа взятых нечетных чисел? Чтобы в этом убедиться, поступим слдующим образом. Предположим, что данное утверждение верно для случая, когда число взятых нечетных чисел равно n, т.е. что утверждение верно. Рассмотрим теперь сумму n+1 первых нечетных чисел Оказалось, что и сумма S(n+1) первых нечетных чисел равна квадрату от их числа. Следовательно, из того, что утверждение верно для n=1 (мы это проверили), вытекает, что оно верно и для , а так как оно верно для то оно верно и для и т.д.. И мы, таким образом, проверяем сделанное заключение для охватывая все возможные случаи. На этом примере мы показали, как незначительно изменив правило, названное индукцией, получить строгий метод доказательства, называемый методомматематической индукции. Сущность его заключается в следующем. Чтобы доказать, что некоторое утверждение верно для любого натурального числа n, начиная с n_o, достаточно доказать:

1)что это утверждение верно для ;
2) что утверждение справедливо для n+1,предполагая, что оно имеет место для некоторого натурального n ³ n_o

Пример 1. Доказать, что сумма S(n) первых n членов натурального ряда равна

Решение. При имеем и условие 1) метода математической индукции верно. Предположим, что формула верна. Тогда: и условие 2) выполнено. Следовательно, формула верна для любого натурального числа n. Так, например,

Пример 2. Доказать, что сумма S(n) квадратов первых n членов натурального ряда равна