![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция определена на множестве Х, причем все ее значения образуют множество Y. Предположим, что на множестве Y задана другая функция
. Тогда имеет смысл выражение
. В самом деле, каждому значению переменной х из множества Х соответствует единственное значение переменной y, которое вычисляется по формуле
и принадлежит множеству Y. Так как функция
определена на множестве Y, то в точке
можно вычислить ее значение по формуле
. Выражение
называется сложной функцией или суперпозицией (или композицией) (от) двух функций f и g. Переменная у называется промежуточным аргументом функции z. В конечном счете, функция
зависит от аргумента х, который изменяется на множестве Х.
Функция f отображает точку х в точку y, а функция g отображает точку у в точку z.
Аналогично вводится понятие композиции (сложной функции) трех и более функций.
Так, функцию можно рассматривать как сложную функцию от двух функций, положив
. Очевидно, эта функция определена для любого х. Функцию
можно рассматривать как сложную функцию, образованную тремя функциями
. Здесь функция у определена на всей числовой прямой R, функция z определена для
, поэтому сложная функция
определена лишь для тех х, для которых
, т.е. областью определения сложной функции является множество
. Заметим, что одну и ту же функцию можно рассматривать как сложную функцию различного числа составляющих ее функций. Например, функцию
можно рассматривать как композицию двух функций
или как композицию трех функций
.
Рассмотрим функции и составим из них сложные функции g[f(x)], f[g(x)], f[f(x)], g[g(x)]. Функция
– сложная функция от двух функций
и функции
. Функция
определена на множестве
– множество ее значений. Так как функция
не определена в точке
, то из рассмотрения нужно выбросить точку
, в которой
. Во всех остальных точках (на множестве
) сложная функция существует и ее значения вычисляются по формуле
Сложная функция z=f[g(x)] образована из функции
и функции
, которая определена для всех
. Так как функция
определена для
,то ее значения вычисляются по формуле
Функция , где
. Значит,
. Далее
, где
. Здесь
Вопросы для самопроверки и упражнения.
1. Что называется сложной функцией? Приведите примеры.
2. При каких условиях на исходные функции существует сложная функция?
3. Совпадает ли сложная функция f[g(x)] с функцией g[f(x)]? Приведите примеры.
4. Укажите условия, при которых существуют сложные функции g[f(x)], f[g(x)], f[f(x)], g[g(x)] и найдите их, если:
N | f(x) | g(x) |
1. | ![]() | ![]() |
2. | ![]() | ![]() |
3. | ![]() | ![]() |
4. | ![]() | ![]() |
5. | ![]() | ![]() |
6. | ![]() | ![]() |
7. | ![]() | ![]() |
8. | ![]() | ![]() |
9. | ![]() | ![]() |
10. | ![]() | ![]() |
11. | ![]() | ![]() |
12. | ![]() | ![]() |
13. | ![]() | ![]() |
14. | x | ![]() |
15. | ![]() | ![]() |
16. | x | ![]() |
5. Для функций составить сложную функцию f{g[h(x)]}.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 628 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!