Монотонные функции

Функция заданная на множестве Х, называется:
возрастающей, если для любых и из Х, таких, что < , выполняется неравенство ,неубывающей, если для любых и из Х, таких, что < , выполняется неравенство ,убывающей, если для любых и из Х, таких, что < , выполняется неравенство ,невозрастающей, если для любых и из Х, таких, что < , выполняется неравенство .

Заметим, что неубывающая и невозрастающая функции могут принимать в различных точках равные значения. (см. рис. 23 и 25).

Возрастающая функция характеризуется тем, что из любых двух точек на графике правая лежит выше левой, т.е. при движении слева направо график функции поднимается (см. рис. 22). Если же функция убывающая, то ее график при движении слева направо график функции опускается (см. рис. 24). Для неубывающей функции график не опускается (рис. 23), для невозрастающей – не поднимается (рис. 25).

Функции, удовлетворяющие любому из указанных выше условий, называются монотонными. При этом возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными (или монотонными в «строгом смысле»), а неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными «в широком смысле». ункция называется кусочно-монотонной, если область ее определения можно разбить на «части», на которых она монотонна. Так, функция является кусочно-монотонной на R. В самом деле, множество R разобъем на две является кусочно-монотонной на R. В самом деле, множество R разобъем на две

«части» , . На промежутке функция убывает, а на промежутке возрастает. Функции также являются кусочно-монотонными на R.

Вопросы и задания для самопроверки.

1. Приведите определение функции, области определения и области изменения функции.

2. Определяет ли формула переменную х как функцию переменной у? Найдите . Постройте график данной функции.

3. Определяет ли формула переменную у как функцию переменной х?

4. При каких условиях формула определяет функцию ? Функцию ? Постройте графики этих функций.

5. Приведите определение четной и нечетной функций.

6. Можно ли всякую функцию представить в виде суммы четной и нечетной функций?

7. Может ли быть четной (нечетной) сумма, разность, произведение и частное четной и нечетной функций? Приведите примеры.

8. Приведите определение периодической функции.

9. Всегда ли сумма (разность) двух периодических функций является периодической функцией?

10. При каких условиях сумма (разность) двух периодических функций является периодической функцией?

11. Является ли произведение двух периодических функций периодической функцией? Приведите примеры.

12. Приведите определения возрастающей, неубывающей, убывающей, невозрастающей функций. Приведите примеры.

13. Всегда ли сумма двух возрастающих (убывающих) функций является возрастающей (убывающей) функцией? Приведите примеры.

14. Что можно сказать о характере монотонности суммы убывающей и возрастающей функций? Приведите примеры.

15. Что можно сказать о характере монотонности произведения (частного) двух монотонных функций? Приведите примеры.

16. Найдите область определения функций:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. , 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

17. Исследовать на четность функции:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

Доказать, что функция является нечетной. Решение. Подставляем -х вместо х в выражение для f(x):

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

20. Приведите примеры функций, имеющих следующие периоды: 1) , 2) , 3)

21. Найти период функции

Решение. Функция имеет период , функция – период , функция – период . В соответсвии со свойством 2 периодических функций наша функция является периодической с периодом , т.к. отрезки , , – соизмеримы. Действительно, .

22. Доказать, что функция строго возрасает на множестве R.

Решение. Пусть – произвольные числа, причем . Покажем, что . Для этого рассмотрим разность т.к. все сомножители в правой части положительны.

23. Докажите, что указанные ниже функции являются строго монотонными на указанных промежутках:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11.

24. Найти промежутки монотонности функций:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8.

25. Являются ли кусочно-монотонными следующие функции:

1. 2. 3.

4. 5.

6. 7. 8.

25.Являются ли кусочно-монотонными следующие функции:

1. 2. 3.

4. 5.

6. 7. 8.