График нечетной функции является симметричным относительно начала координат О

Заметим, что

всякую функцию, которая задана на симметричном множестве, можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

В самом деле, пусть f задана на симметричном множестве Х. Тогда

Очевидно, , т.е. является четной функцией, , т.е. – нечетная функция.

Функция представляет пример четной функции, т.к. для любого действительного числа х. Так как , то функция знака является нечетной.

Функция , заданная на всей числовой оси, не является ни четной, ни нечетной (почему?). Представим ее в виде суммы четной и нечетной функций. Имеем:

. Очевидно, является четной функцией, а – нечетной функцией. Значит, .

Множество точек плоскости,удовлетворяющих уравнению j(x,y)=0, называется графиком этого уравнения.

Если j(-x,y)= j(x,y), то график уравнения симметричен относительно оси ординат, если же j(x,-y)= j(x,y), то он симметричен относительно оси абсцисс, при выполнении условия j(-x,-y)= j(x,y) график будет симметричным относительно осей координат (почему?).

К примеру, уравнение j(x,y)= 0 удовлетворяет условию j(-x,-y)= j(x,y), так как по свойству модуля,и,значит, график этого уравнения симметричен относительно осей координат.Для постоения графика достаточно построить его часть,расположенную в первой четверти,а затем зеркально отобразить эту часть относительно осей координат. В первой четверти j(x,y)=х+у-1=0, и графиком уравнения будет часть прямой,которая находится в первой четверти.