Границы числовых множеств

Пусть Х – некоторое непустое числовое множество.

Множество Х называется ограниченным сверху, если существует такое число М, что каждое число х из множества Х не превосходит числа М, т.е. число М называется верхней границей (или гранью) множества Х.

В этом случае все точки х из множества Х расположены слева от точки М. Так, множество Х={-1, -2, -3, -4,...} ограничено сверху любым числом . Каждое такое число является верхней границей данного множества. Множество N={1, 2, 3,...} не будет ограниченным сверху, так как для любого числа М, каким бы большим оно ни было, найдется целое положительное число из множества N большее М.

Множество Х называется ограниченным снизу, если существует такое число m, что каждое число х из множества Х не меньше числа m, т.е. число m называется нижней границей (или гранью) множества Х.

В этом случае в се точки х из множества Х расположены справа от точки m. Например, множество N={1, 2, 3,... } ограничено снизу любым числом . Каждое такое число является нижней границей данного множества. Множество Х={-1, -2, -3, -4,...} не будет ограниченным снизу, так как для любого числа m, каким бы большим оно ни было, найдется целое отрицательное число из Х меньшее m.

Множество Х называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е. если существуют такие числа m и М, что каждое число х из множества Х удовлетворяяет неравенству .

Например, множество Х=(0, 1] ограничено и сверху и снизу. Сверху оно ограничено любым числом , а снизу – любым числом . Множество Z={..., -1, 0, 1, 2,...} не является ограниченым ни снизу, ни сверху (почему?). Условимся считать пустое множество Æ ограниченным.

Ограниченность множества Х равносильна существованию такого положительного числа С, что каждый элемент множества Х удовлетворяет неравенству .

В самом деле, если множество Х ограничено, то существуют такие числа m и M, что каждое число х из множества Х удовлетворяет неравенству . Пусть С есть наибольшее из чисел и . Тогда, очевидно,, т.е. . И наоборот, если для любого верно неравенство , то , т.е. множество Х ограничено (числом снизу и числом сверху).

Всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечно много верхних (нижних) границ, а ограниченное множество имеет бесконечно много и верхних, и нижних границ одновременно.

В самом деле, если М есть верхняя грань множества,то и всякое число М+произвольное положительное число также является верхней гранью(?), если же m есть нижняя грань множества,то и всякое число m- произвольное положительное число также является нижней гранью(?).

Наименьшая из всех верхних границ ограниченного сверху множества Х называется точной верхней границей (гранью) множества Х и обозначается supX (sup – первые буквы латинского слова supremum – верхний); наибольшая из всех нижних границ ограниченного снизу множества Х называется точной нижней границей (гранью) множества Х и обозначается inf X (inf– первые буквы латинского слова infimum – нижний ).

Возникает вопрос: всякое ли ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) границу? Ответ на эти вопросы дает следующая

Теорема (о существовании точных границ).

Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) множество Х имеет (единственную!) точную верхнюю границу (точную нижнюю границу ).

Из теоремы следует, что

всякое ограниченное множество имеет одну точную верхнюю и одну точную нижнюю границы.

Например, .

Отметим важнейшие свойства точных границ числовых множеств.

Пусть . Тогда:

1. для каждого , ибо есть нижняя граница множества Х;

2. для любого всегда найдется элемент из Х такой, что (в противном случае не было бы точной нижней границей множества Х, почему?);

3. если m – какая-либо нижняя граница множества Х, то , ибо – наибольшая из всех нижних границ Х.

Пусть. Тогда:

4. для каждого х из Х, ибо есть верхняя граница множества Х;

5. для любого всегда существует элемент из Х, такой, что (в противном случае не было бы точной верхней границей множества Х, почему?);

6. если М – какая-либо верхняя граница множества Х, то , ибо – наименьшая из всех верхних граней множества Х.