Доказательства свойств 1-6

вытекают непосредственно из определения модуля. Докажем свойства 7 и 8. На основании свойства 2 для любых чисел х и у имеем -|x| £ х £ |x|, -|y| £ y £ |y|. Складывая эти неравенства, находим, что (|x+y|) £ х+у £ |x| + |y|. По свойству 3 получаем неравенство 7. Пусть теперь х=(х-у)+у. Тогда |x|=|(x-y)+y| £ |х-у|+y по формуле 7, то есть |x-y| ³ |x|-|y|. C другой стороны |y|=|(y-x)+x|. По формуле 7 имеем |y| £ |y-х|+x. Отсюда |x|-|y| ³ |y-x|. Значит,||x|-|y||£|x-y|. Заметим, что величина |x-y| есть расстояние на числовой оси между точками М и Т с координатами х и у соответственно (независимо от их расположения).

М(х) |x-y| T(y)

· · ·

X y 0