Упражнения. 1. Доказать, что АÈ(ВÇС)=(АÈВ)Ç(АÈС)

1. Доказать, что АÈ(ВÇС)=(АÈВ)Ç(АÈС).

ешение. Пусть элемент х входит в левую часть равенства. Тогда хÎА или хÎВÇС. Если хÎА, то хÎАÈВ и хÎАÈС, следовательно, х принадлежит правой части доказываемого равенства. Если же хÎВÇС, то хÎВ и хÎС. Но тогда хÎАÈВ и хÎАÈС. Значит, и в этом случае х является элементом правой части. Обратно, пусть теперь х есть элемент правой части. Значит хÎАÈВ и хÎАÈС. Если хÎА, то хÎАÈ(ВÇС). Если же х не принадлежит А, то хÎВ и хÎС. Значит, хÎВÇС, и опять х принадлежит левой части.

На левом рисунке множество АÈВ заштриховано горизонтальной штриховкой, а множество АÈС - вертикальной штриховкой. Множество (АÈВ)Ç(АÈС) изображено квадратной штриховкой.

На правом рисунке множество ВÇС изображено горизонтальной штриховкой, а множество А - вертикальной штриховкой. Заштрихованная область дает множество АÈ(ВÇС). Мы получили геометрическое доказательство, так как множество, заштрихованное на левом рисунке квадратной штриховкой, и множество, заштрихованное на правом рисунке, совпадают.

2. Доказать, что АÈВ=ВÈА (свойство коммутативности объединения множеств).

3. АÇВ=ВÇА (свойство коммутативности пересечения множеств). Доказать.

4. (АÈВ)ÈС=АÈ(ВÈС) (свойство ассоциативности объединения множеств). Доказать

5. Доказать, что (АÇВ)ÇС=АÇ(ВÇС)= АÇВÇС (свойство ассоциативности пересечения множеств).

6. Убедиться, что три соотношения АÌВ, АÇВ=А, АÈВ=В равносильны, то есть, что из выполнения любого из них вытекает справедливость остальных двух.

7. Верно ли равенство АÇВ=А\(A\B)?

8. (A\B)\C=A\(BÈC). Доказать.

9. Верно ли соотношение (A\B)Ç(C\D)=(AÇC)\(BÇD)?

10. Доказать, что условие (AÈB)\B=A выполняется в том и только том случае, когда AÇB=Æ.

11. (A\B) ÈB=A Û BÌA. Доказать.

12. Доказать, что операции È и Ç связаны законами дистрибутивности:

(AÈB) ÇC=(AÇC) È(BÇC), (AÇB) ÈC=(AÈC) Ç(BÈC),

13. Если AÌB, то AÈB=B?

14. AÈÆ=A?

15. Если AÌB, AÇB=A?

16. Доказать, что A=B, если AÌB и BÌA.

17. Если AÌB и BÌC, то AÌC. Доказать.

18. Следует ли из AÇB=A соотношение AÌB?

19. Вытекает ли из A\B=С, что А=BÈC?

20. Вытекает ли из A=BÈC, что A\B=C?

21. Верно ли, что A\(BÈC)=(A\B)\C?

22. AÈ (B\C)=(AÈB)\C?

23. (A\B) ÈC=(AÈC)\B?