Теорема Ролля, ее геометрический смысл

Теорема: если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], и 1. Имеет конечную производную f’(x), x ϵ (a,b), 2. f(a) = f(b), тогда Ǝ точка с ϵ (a,b) такая что f’(c) = 0.

Доказательство: По 2-ой теореме Вейерштрасса f(x) достигает наибольшего значения на [a,b]. Пусть М – наибольшее значение f(x), m – наименьшее значение f(x) на [a,b].

1. M=m так как f(a)=f(b) f(x)=f(a)=f(b)=const и условие f’(x) = 0 выполняется для любых хϵ(a,b).

2. M≠m f(x) не может принимать наибольшего(наименьшего) значения при x=a(x=b) то есть Ǝ точка cϵ(a,b) для которой f(x) =max(min) по т.Ферма в этой точке f’(c) =0.

Из теоремы Ролля следует, что существует точка х=с, на отрезке [a,b], в которой касательная к графику функции f(x) параллельна оси ox.