Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в некоторой окрестности Е точки x0 и f(x0)=g(x0)=0, то есть и при . Предположим, что при функции f(x) и g(x) имеют производные f'(x) и g'(x), причём существует предел отношения этих производных:
Тогда предел отношения самих функций f(x) и g(x) тоже существует и равен тому же числу L:
Доказательство. Заметим, что из условия следует, что оба односторонних предела также равны L:
И
Пусть x1 ,. По теореме Коши, применённой к отрезку [x0;x1], получим тогда, с учётом того, что f(x0)=0, g(x0)=0,
где . Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при :
так как, очевидно, при имеем также . Теперь возьмём точку x2 , и применим теорему Коши к отрезку [x2;x0]. Получим
где x** Переходя к пределу при , получаем
так как при имеем . Итак, оба односторонних предела отношения равны L. На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 228 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!