![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в некоторой окрестности Е точки x0 и f(x0)=g(x0)=0, то есть
и
при
. Предположим, что при
функции f(x) и g(x) имеют производные f'(x) и g'(x), причём существует предел отношения этих производных:
Тогда предел отношения самих функций f(x) и g(x) тоже существует и равен тому же числу L:
Доказательство. Заметим, что из условия следует, что оба односторонних предела также равны L:
И
Пусть x1
,. По теореме Коши, применённой к отрезку [x0;x1], получим тогда, с учётом того, что f(x0)=0, g(x0)=0,
где
. Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при
:
так как, очевидно, при имеем также
. Теперь возьмём точку x2
, и применим теорему Коши к отрезку [x2;x0]. Получим
где x**
Переходя к пределу при
, получаем
так как при имеем
. Итак, оба односторонних предела отношения
равны L. На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 246 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!