Теорема Лапиталя, ее использование для раскрытия неопределенностей при нахождении пределов

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в некоторой окрестности Е точки x₀ и f(x₀)=g(x₀)=0, то есть и при . Предположим, что при функции f(x) и g(x) имеют производные f'(x) и g'(x), причём существует предел отношения этих производных:

Тогда предел отношения самих функций f(x) и g(x) тоже существует и равен тому же числу L:

Доказательство. Заметим, что из условия следует, что оба односторонних предела также равны L:

И

Пусть x₁ ,. По теореме Коши, применённой к отрезку [x₀;x₁], получим тогда, с учётом того, что f(x₀)=0, g(x₀)=0,

где . Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при :

так как, очевидно, при имеем также . Теперь возьмём точку x₂ , и применим теорему Коши к отрезку [x₂;x₀]. Получим

где x** Переходя к пределу при , получаем

так как при имеем . Итак, оба односторонних предела отношения равны L. На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что