Непрерывность функции в точке и на отрезке

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если эта функция определена в некоторой окрестности точки х₀ и существует предел , равный f(x₀).

Если при каком-либо значении х₀ не выполняются указанные усло­вия, то точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x).

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то она непрерывна на этом промежутке.

Если выполняется равенство f(x₀ - 0) = f(x₀), то говорят, что функция f(x) непрерывна слева в точке х₀. Аналогично, если f(x₀ + 0) = f(x₀), то функция непрерывна справа в точке х₀.

Функцию f(x) называют непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a; b) и, кроме того, непрерывна справа в точке a и слева в точке b.

Теорема Коши о нулях непрерывной функции. Только на одном из отрезков – [a₃;b ₃] – имеется нуль функции, так как на этом отрезке функция непрерывна и принимает значения разных знаков на концах.

Теорема Коши. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [a;b] имеется хотя бы один нуль функции f. При этом, если функция строго монотонна на этом отрезке, то она принимает значение 0 лишь один раз.