Односторонние пределы. Необходимые и достаточные условия существования предела. Геометрический смысл предела

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (или пределом справа).

Число A' называется пределом слева функции f(x) в точке a: если

|A' - f(x)| < ε при 0 < a - x < δ (ε).

Аналогично, число A" называется пределом справа функции f(x) в точке a: если

|A" - f(x) |< ε при 0 < x - a < δ (ε).

Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы f (a - 0) = f(a + 0).

Геометрический смысл предела функции:

если для любой ε -окрестности точки А найдется такая δ -окрестность точки х_о, что для всех х₁х₀ из этой δ -окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε -окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε,ограниченной прямыми у=А+ ε, у=А-ε. Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).